Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matek 12.
amolnar
kérdése
350
Hány megoldása van az alábbi egyenletnek?
x^2+1/x^2=2cos(x)^2
x^2+1/x^2=2cos(x)^2
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, Matematika, egyenlet, trigonometria
matek, Matematika, egyenlet, trigonometria
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Epyxoid
{ Tanár }
megoldása
`x^2+1/x^2 = 2\ cos x^2`
Mivel egy szám és annak reciprokának összege nagyobb, vagy egyenlő, mint 2, ezért:
`x+1/x ge 2 " /"\ ()^2`
`(x+1/x)^2 ge 4`
`x^2+1/x^2+2 ge 4 " /"-2`
`x^2+1/x^2 ge 2`
Vagyis az egyenlet baloldala legalább 2-vel egyenlő. A jobb oldala pedig:
`cos x le 1 " /"*2`
`2\ cos x le 2`
Vagyis a jobb oldal pedig legfeljebb 2 (az `x^2` semmit sem számít). Vagyis csak akkor lehet a két oldal egyenlő, hogy ha mindkét oldal 2-vel egyenlő. Ez a bal oldalon csak akkor lehetséges, ha `x=+-1`. A jobb oldalon pedig:
`2\ cos x^2 = 2 " /":2`
`cos x^2 = 1 " /"\ cos^"-1"()`
`x^2 = 0+k*2 pi", " k in ZZ " /"sqrt`
`x = +-sqrt(k*2pi)", " k in ZZ`
Vagyis az egyenletnek nincs megoldása!
Mivel egy szám és annak reciprokának összege nagyobb, vagy egyenlő, mint 2, ezért:
`x+1/x ge 2 " /"\ ()^2`
`(x+1/x)^2 ge 4`
`x^2+1/x^2+2 ge 4 " /"-2`
`x^2+1/x^2 ge 2`
Vagyis az egyenlet baloldala legalább 2-vel egyenlő. A jobb oldala pedig:
`cos x le 1 " /"*2`
`2\ cos x le 2`
Vagyis a jobb oldal pedig legfeljebb 2 (az `x^2` semmit sem számít). Vagyis csak akkor lehet a két oldal egyenlő, hogy ha mindkét oldal 2-vel egyenlő. Ez a bal oldalon csak akkor lehetséges, ha `x=+-1`. A jobb oldalon pedig:
`2\ cos x^2 = 2 " /":2`
`cos x^2 = 1 " /"\ cos^"-1"()`
`x^2 = 0+k*2 pi", " k in ZZ " /"sqrt`
`x = +-sqrt(k*2pi)", " k in ZZ`
Vagyis az egyenletnek nincs megoldása!
Módosítva: 3 éve
0
- Még nem érkezett komment!