Legyen a gúla alapjának oldala `a` és a gúla magassága `h`. Illetve a beírt gömb sugara `r`, míg a köré írté `R`.

`"tg"\ alpha = h/(a//2) => alpha = "tg"^"-1"((2h)/a) = ?`

`0 lt alpha lt 90°`

`0 lt "tg"^"-1"((2h)/a) lt 90°`

`0 lt (2h)/a lt oo`

A beírható gömböt az oldalfelezők síkja határozza meg:
`r = (2T)/K = (2*(a*h)/2)/(a+2m_o) = (ah)/(a+2m_o)`, ahol `m_o` az oldallapok magassága

`m_o = sqrt((a/2)^2+h^2) = sqrt(a^2/4+h^2)`

A köré írt gömböt pedig a szemközti csúcsok síkja határozza meg:
`R = (sqrt(2) a*b^2)/(4*(sqrt(2) a*h)/2) = b^2/(2h)`, ahol `b` az oldalél

`b^2 = (sqrt(2)/2 a)^2+h^2 = 1/2 a^2+h^2`

Vagyis
`R = 3r`

`(1/2 a^2+h^2)/(2h) = (3ah)/(a+2 sqrt(a^2/4+h^2))`

`(1/2 a^2+h^2)/(2h) = (3ah)/(a+sqrt(a^2+4h^2))`

`(1/2 a^2+h^2)(a+sqrt(a^2+4h^2)) = 6ah^2`

`1/2 a^3+ah^2+(1/2 a^2+h^2) sqrt(a^2+4h^2) = 6ah^2`

`sqrt(a^2+4h^2) = (5ah^2-1/2 a^3)/(h^2+1/2 a^2)`

`a^2+4h^2 = (10ah^2-a^3)^2/(2h^2+a^2)^2`

`a^2+4h^2 = (100a^2h^4-20a^4h^2+a^6)/(4h^4+4a^2h^2+a^4)`

`(a^2+4h^2)(4h^4+4a^2h^2+a^4) = 100a^2h^4-20a^4h^2+a^6`

`4a^2h^4+4a^4h^2 cancel(+a^6)+16h^6+16a^2h^4+4a^4h^2 = 100a^2h^4-20a^4h^2 cancel(+a^6)`

`16h^6+20a^2h^4+8a^4h^2 = 100a^2h^4-20a^4h^2`

`4h^6+5a^2h^4+2a^4h^2 = 25a^2h^4-5a^4h^2`

`4h^6-20a^2h^4+7a^4h^2 = 0 " /":a^6`

`4*h^6/a^6-20*h^4/a^4+7*h^2/a^2 = 0 quad {:/\ (h/a)^2 = x:}`

`4x^3-20x^2+7x = 0`

`x(4x^2-20x+7) = 0`

`"I."\ cancel(x = 0)`

`"II."\ 4x^2-20x+7 = 0`

`x_(1,2) = (20+-sqrt(400-4*4*7))/8 = (20+-sqrt 288)/8 = (20+-12 sqrt 2)/8 = (5+-3 sqrt 2)/4`

`(h/a)^2 = (5+-3 sqrt 2)/4`

`h/a = sqrt(5+-3 sqrt 2)/2` (negatív nem lehet)

`alpha = "tg"^"-1"(sqrt(5+-3 sqrt 2))`

`alpha_1 ~~ "71,792°"`

`alpha_2 ~~ "41,032°"`

Hmm, egész közel. Pedig szerintem jól számoltam... És milyen pofás lett a végeredmény! Én szerintem ez a jó megoldás, de aztán lehet tévedek.