Rendezzük át az egyenletet úgy, hogy csak a derivált maradjon a bal oldalon:

`(dy)/(dx)=-(3x-y)/(3y-x)`

A `(dy)/(dx)=-(P(x,y))/(Q(x,y))` differenciálegyenletet egzaktnak nevezzük, ha `(partial P)/(partial y)=(partial Q)/(partial x)`. A fenti egyenletre ez jól láthatóan teljesül, hiszen `partial/(partial y)[3x-y]``=``partial/(partial x)[3y-x]=-1`. Az ilyen egyenletek implicit alakú megoldása `F(x,y)=C`, ahol `(partial F)/(partial x)=P` és `(partial F)/(partial y)=Q` és `C in mathbb{R}`.

Kell találnunk tehát egy olyan függvényt, aminek `x` szerinti deriváltja `3x-y`, és `y` szerinti deriváltja `3y-x`. Nézzük az első feltételt:

`(partial F)/(partial x) = 3x-y`

Integráljuk mindkét oldalt `x` szerint:

`F = int (3x-y) dx=3/2 x^2-xy + C_1(y)`

A konstans tagban külön jeleztem, hogy ez nyugodtan függhet `y`-tól, csak az `x` szerinti deriválás szempontjából kell konstansnak lennie.

Ugyebár ott van még a második feltétel is, vagyis hogy ennek az `y` szerinti deriváltja `3y-x` kell legyen, innen lesz meg `C_1(y)` értéke.

`partial/(partial y) [3/2 x^2-xy + C_1(y)]= 3y-x`

`-x+(dC_1)/(dy)=3y-x`

`(dC_1)/(dy)=3y`

`C_1(y)=int 3y d y=3/2 y^2 + c_1`

Itt `c_1` már nem függhet egyik változótól sem, csak egy valós szám.

Tehát a megoldás implicit alakja:

`F(x,y)=C`

`3/2 x^2-xy + 3/2 y^2 + c_1=C`

Kicsit átrendezve és a konstansokat összevonva látszik, hogy ez tulajdonképpen egy másodfokú egyenlet `y`-ra:

`3/2 y^2 -xy+ 3/2 x^2 + c_2=0`

A másodfokú egyenlet megoldóképletével így az explicit megoldást is meg tudjuk adni:

`y(x) = (x pm sqrt(x^2 - 4*3/2*(3/2x^2+c_2)))/3``=``(x pm sqrt(x^2-9x^2-6c_2))/3``=``(x pm sqrt(-8x^2 +c))/3`

Az egyenlet általános megoldása tehát `y(x)=(x pm sqrt(-8x^2 +c))/3`, ahol `c` tetszőleges valós szám lehet.