Matematika gyakorlás

1. `d = "173 cm"`
Egy kocka testátlója, ha az oldala `a`:
`d = sqrt(3)*a => a = d/sqrt(3) = 173/sqrt(3) ~~ "99,882 cm"`

`F = 6a^2 = 6*(173/sqrt(3))^2 = "59 858 cm"^2 = "598,58 dm"^2 = "5,9858 m"^2`

A fedőlap közepe, ami az átlók metszéspontja, illetve a fedőlap egyik csúcsa és az alatta lévő alap csúcsa egy derékszögű háromszöget alkotnak, amiben az egyik befogó az átló fele, a másik befogó a kocka éle és az átfogó a keresett távolság, ami legyen mondjuk `x`. A kocka oldalai négyzetek, aminek az átlója ismert az oldal függvényében: `sqrt(2)*a`. Ennek a fele `sqrt(2)/2*a`. Vagyis a Pitagoraszból:
`x = sqrt((sqrt(2)/2*a)^2+a^2) = sqrt(a^2(2/4+1)) = a*sqrt(3/2) = 173/cancel sqrt(3)*cancel sqrt(3)/sqrt(2) = 173/sqrt(2) ~~ "122,329 cm"`

2. `a = "210 cm, " c = "160 cm, " b = "60 cm, " l = "8 m" = "800 cm"`
a) `m = ?", " V = ?`
Mivel szimmetrikus a trapéz, ezért a két alapjának a különbsége baloldalt és jobboldalt is ugyanakkora, ezt most `x`-nek nevezem:
`x = (a-c)/2 = (210-160)/2 = 50/2 = "25 cm"`

Ez az `x` derékszögű háromszöget alkot a trapéz mind a két oldalán a trapéz magasságával és a szárakkal, amire felírhatjuk a Pitagorasz-tételt, amiből megkapjuk a trapéz magasságát:
`x^2+m^2 = b^2 => m = sqrt(b^2-x^2) = sqrt(60^2-25^2) = sqrt "2 975" = 5 sqrt 119 ~~ "54,544 cm"`

A térfogatot pedig úgy kaphatjuk meg, hogy az árok az tulajdonképpen egy trapéz alapú egyenes hasáb, aminek a térfogata az alap területe szorozva a hasáb magasságával, ami itt most az árok hossza, vagyis `l`:
`V = T_a*l = ((a+c)*m)/2*l = ((210+160)*5 sqrt 119)/2*800 = "740 000" sqrt(119)\ "cm"^3 =`

`= 740 sqrt 119\ "dm"^3 = 740 sqrt 119\ "L" ~~ "8 072,447 L" = "80,724 hL"` (hektoliter)

b) `F_"lyuk" = "250 cm"^2", " F = ?`
Először is, mivel ez a trapéz alapú hasáb egy árok, ezért nem a test teljes felszíne a kérdés, mert a "tetejét nem fedik le", vagyis a kérdéses felszínt a trapéz kisebb alapjához tartozó oldal és a szárakhoz tartozó oldalak adják ki, illetve a hasáb két trapéz alapja, mínusz a két lyuk, amin átfolyik a víz, vagyis:
`F = 2(T_a-F_"lyuk")+P = 2(((210+160)*5 sqrt 119)/2-250)+c*l+2*b*l ``=`` 2(925 sqrt(119)-250)+800(160+2*60) ``=`` 50("4 470"+37 sqrt(119)) ~~ "243 681,117 cm"^2 = "2 436,811 dm"^2 = "24,368 m"^2`

3.
a)
`V_"tömb" = 10*12*15 = "1 800 cm"^3`

`V_"gyertya" = T_a*h = "3,7"^2*10 = "136,9 cm"^3`

`V_"tömb"/V_"gyertya" = "1 800"/"136,9" = "13,148"`

Vagyis 13 darab gyertya öntéséhez elegendő a viasztömb.

b) A papírdoboz alapja kör, ami tartalmazza a gyertya négyzet alapját, ami azt jelenti, hogy a kör átmérője egyenlő a négyzet átlójával, ami tudjuk, hogy a négyzet oldalának `sqrt 2`-szöröse:
`2r = "3,7" sqrt 2 " /":2`

`r = ("3,7" sqrt 2)/2 ~~ "2,616 cm"`

Vagyis a doboz térfogata:
`V_"doboz" = (("3,7" sqrt 2)/2)^2 pi*10 = "68,45" pi ~~ "215,042 cm"^3`