Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Melyik az a szám...

685
"Melyik az a legkisebb háromjegyű pozitív egész szám, melyet ha elosztunk 5-tel, 6-tal és 7-tel, a maradék mindig rendre 3, 4 illetve 5?"
Nagyon megköszönném, ha a megoldás menetét leírná nekem valaki! Előre is köszönöm!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Melyik az a szám
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Az 5, 6 és 7 legkisebb közös többszöröse 210. Ha ebből levonok 1-et, akkor az a szám (tehát a 209) már egyikkel sem lesz osztható, hanem 5-tel osztva 4 maradékot fog adni, 6-tal osztva 5-öt, 7-tel osztva pedig 6-ot. Ha 2-t vonok le, akkor az így kapott szám (208) 5-tel osztva 3 maradékot fog adni, 6-tal osztva 4-et, 7-tel osztva pedig 5-öt, és már meg is vagyunk, a válasz a 208.

---------------

Másik megoldás:


Ha 5-tel osztva 3 maradékot ad, akkor a végződése 3 vagy 8 lehet. Ha 6-tal osztva 4 maradékot ad, akkor biztosan páros, tehát már tudjuk, hogy a szám 8-ra végződik, vagyis ab8 alakú.

Mivel az ab8 szám 6-tal osztva 4 maradékot ad, az ab4 szám osztható 6-tal, vagyis 2-vel és 3-mal is. A 2-es oszthatóság már nyilvánvalóan teljesül (hiszen páros), a 3-as oszthatósághoz pedig az kell, hogy a számjegyek összege (a+b+4) is osztható legyen hárommal. Ebből az következik, hogy az a+b összeg csak hatféle lehet: 2, 5, 8, 11, 14, 17. (Mivel a és b számjegyek, az összegük nem lehet 18-nál nagyobb.)

Mivel az ab8 szám 7-tel osztva 5 maradékot ad, az ab3 szám osztható 7-tel. A 7-tel való oszthatóság szabálya szerint ez akkor teljesül, ha az első két számjegyből képzett számból (tehát az ab számból) az utolsó számjegy dupláját (tehát 6-ot) levonva 7-tel osztható számot kapunk. Ezek alapján az ab szám lehet: 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, 97.

De ezek nagy részét kiszórhatjuk a számjegyek összegére előbb megkapott feltétel miatt, így maradnak: 20, 41, 62, 83.

Tehát megkaptuk az összes ilyen háromjegyű számot: 208, 418, 628, 838. (Érdemes megfigyelni, hogy ezek a számok egymástól mindig 210 távolságra vannak. Ez az első megoldásom fényében nem is meglepő.) Ezek közül a legkisebb a 208.
Módosítva: 2 éve
0