Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Sorok konvergenciája (egy szeptember 30-án letörölt feladat újra kiírása)
gyula205
kérdése
256
Konvergens-e a következő sor:
`sum_(n=2)^(oo) (1-1/n^7)^(n^8)`
Kérjük a diákokat és egyetemi hallgatókat, amennyiben lehetséges
több mint 3 órával a feladat kiírása után már ne töröljék le feladványukat.
Gondoljatok arra, hogy mások is szeretnének tanulni a feladványból, továbbá
ha van feladat megoldó vagy hozzászóló, nem azért teszi, hogy a munkáját
"kidobjuk". Köszönettel egy feladat megoldó, aki nem riad meg a feladatok
kiírásától sem.
`sum_(n=2)^(oo) (1-1/n^7)^(n^8)`
Kérjük a diákokat és egyetemi hallgatókat, amennyiben lehetséges
több mint 3 órával a feladat kiírása után már ne töröljék le feladványukat.
Gondoljatok arra, hogy mások is szeretnének tanulni a feladványból, továbbá
ha van feladat megoldó vagy hozzászóló, nem azért teszi, hogy a munkáját
"kidobjuk". Köszönettel egy feladat megoldó, aki nem riad meg a feladatok
kiírásától sem.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
analízis, sorok, konvergencia
analízis, sorok, konvergencia
2
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
gyula205
válasza
Gondolatok a megoldásról:
Ismert, hogy `lim_(n->oo) (1-1/n)^n=e^(-1)`, amelyben n helyébe
`n^7`-t írva a határérték változatlan marad. Tehát
`lim_(n->oo) (1-1/(n^7))^(n^7)=e^(-1)`, Mivel ez a sorozat aluról minorálja `e^(-1)`-t, azaz `forall n ge 2` esetén `(1-1/(n^7))^(n^7)<e^(-1)` esetén, igaz lesz `(1-1/(n^7))^(n^8)<e^(-n)` egyenlőtlenség, alkalmazható a majoráns kritérium: `sum_(n=2)^(oo) (1-1/n^7)^(n^8) <= sum_(n=2)^(oo) e^(-n)=frac{e^(-1)}{e-1} approx 0,214097`. Mivel a mértani sor összege véges érték, ezért a kérdéses sor konvergens.
Még arra is kisérletet tehetünk, hogy mennyi ez az érték. Bevezetve a
`g(n):=sum_(k=2)^(n) e^(-k)-sum_(k=2)^(n) (1-1/k^7)^(k^8)` jelölést és felhasználva,
hogy `g(n)>0` és monoton növekedő, észrevehető, hogy már alacsony `n=6` mellett `g(6)
approx 0,0010953...`, így `sum_(n=2)^(oo) (1-1/n^7)^(n^8) approx 0,213`.
Megjegyzés: Viszont a `sum_(n=2)^(oo) (1+1/n^7)^(n^8)` sor divergens lesz. Ha az összeg tagjainak sorozata egynél nagyobb, akkor teljesen nyilvánvaló, hogy az állítás igaz.
Ismert, hogy `lim_(n->oo) (1-1/n)^n=e^(-1)`, amelyben n helyébe
`n^7`-t írva a határérték változatlan marad. Tehát
`lim_(n->oo) (1-1/(n^7))^(n^7)=e^(-1)`, Mivel ez a sorozat aluról minorálja `e^(-1)`-t, azaz `forall n ge 2` esetén `(1-1/(n^7))^(n^7)<e^(-1)` esetén, igaz lesz `(1-1/(n^7))^(n^8)<e^(-n)` egyenlőtlenség, alkalmazható a majoráns kritérium: `sum_(n=2)^(oo) (1-1/n^7)^(n^8) <= sum_(n=2)^(oo) e^(-n)=frac{e^(-1)}{e-1} approx 0,214097`. Mivel a mértani sor összege véges érték, ezért a kérdéses sor konvergens.
Még arra is kisérletet tehetünk, hogy mennyi ez az érték. Bevezetve a
`g(n):=sum_(k=2)^(n) e^(-k)-sum_(k=2)^(n) (1-1/k^7)^(k^8)` jelölést és felhasználva,
hogy `g(n)>0` és monoton növekedő, észrevehető, hogy már alacsony `n=6` mellett `g(6)
approx 0,0010953...`, így `sum_(n=2)^(oo) (1-1/n^7)^(n^8) approx 0,213`.
Megjegyzés: Viszont a `sum_(n=2)^(oo) (1+1/n^7)^(n^8)` sor divergens lesz. Ha az összeg tagjainak sorozata egynél nagyobb, akkor teljesen nyilvánvaló, hogy az állítás igaz.
Módosítva: 3 éve
0
-
Epyxoid: Szép kis megoldás. De miért tetted fel, hogy ha meg tudod oldani? 3 éve 0
-
gyula205: Elsősorban azért, hogy a többek is tanuljanak valamit belőle. Másodsorban azért, mert az eredeti kiírás szó szerint ugyan nem így szólt, de én akkor hozzászóltam, adtam néhány instrukciót és bosszantott a feladatkiíró letörli az én munkámat is. 3 éve 1
-
Epyxoid: Jaaaa, értem már! 3 éve 0