Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Soss
Snnyhsd
kérdése
520
2. Az y = ax' + bx + c egyenletú parabola tengelypontja a T(1; 4) pont, a parabolára illeszkedik az A(0; 3) pont. Irjunk az x tengely által lemetszett parabolaszeletbe maximális területù téglalapot!
Adjuk meg a csúcsok koordinátáit!
Adjuk meg a csúcsok koordinátáit!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Epyxoid
{ Tanár }
megoldása
Ha a parabola tengelypontja `T(1; 4)`, akkor a parabola egyenlete a `p` paraméter függvényében:
`(x-1)^2 = 2p(y-4)`
Illetve rajta kell lennie az `A` pontnak, vagyis
`(0-1)^2 = 2p(3-4)`
`1 = 2p*(-1)`
`-2p = 1`
`p = -1/2`
Vagyis a parabola egyenlete:
`(x-1)^2 = -(y-4)`
`x^2-2x+1 = 4-y`
`y = -x^2+2x+3`
Mivel a parabola szimmetrikus, így elég csak az egyik félre megkeresnünk a maximumot és a maximum a kétszerese lesz. Illetve az egész függvény el van tolva 1 egységgel jobbra az `y` tengelyhez képest, vagyis ha a "fél téglalap" egyik oldala `x`, akkor a másik oldalát úgy kapjuk, hogy ha eggyel nagyobb értéket helyettesítünk be, tehát:
`y = -(x+1)^2+2(x+1)+3 = -x^2 cancel(-2x)-1 cancel(+2x)+2+3 = -x^2+4`
A fél téglalap ennek a kettőnek a szorzata lesz:
`T(x) = x*(-x^2+4) = 4x-x^3`
`T'(x) = 4-3x^2`
`4-3x^2 = 0`
`3x^2 = 4`
`x = 2/sqrt(3) = (2 sqrt 3)/3`
`y = -((2 sqrt 3)/3)^2+4 = 4-(4*3)/9 = 4-4/3 = 8/3`
Vagyis egy `(4 sqrt 3)/3` és egy `8/3` oldalú téglalap területe lesz a maximális. A csúcsok koordinátái pedig úgy adódik, hogy az `x` koordináták `x=1`-től lesznek `+-(2 sqrt 3)/3` távolságra, az `y` koordináták pedig `0` és `8/3`, vagyis:
`P(1-(2 sqrt 3)/3; 0)", "Q(1+(2 sqrt 3)/3; 0)", "R(1+(2 sqrt 3)/3; 8/3)", "S(1-(2 sqrt 3)/3; 8/3)`
`(x-1)^2 = 2p(y-4)`
Illetve rajta kell lennie az `A` pontnak, vagyis
`(0-1)^2 = 2p(3-4)`
`1 = 2p*(-1)`
`-2p = 1`
`p = -1/2`
Vagyis a parabola egyenlete:
`(x-1)^2 = -(y-4)`
`x^2-2x+1 = 4-y`
`y = -x^2+2x+3`
Mivel a parabola szimmetrikus, így elég csak az egyik félre megkeresnünk a maximumot és a maximum a kétszerese lesz. Illetve az egész függvény el van tolva 1 egységgel jobbra az `y` tengelyhez képest, vagyis ha a "fél téglalap" egyik oldala `x`, akkor a másik oldalát úgy kapjuk, hogy ha eggyel nagyobb értéket helyettesítünk be, tehát:
`y = -(x+1)^2+2(x+1)+3 = -x^2 cancel(-2x)-1 cancel(+2x)+2+3 = -x^2+4`
A fél téglalap ennek a kettőnek a szorzata lesz:
`T(x) = x*(-x^2+4) = 4x-x^3`
`T'(x) = 4-3x^2`
`4-3x^2 = 0`
`3x^2 = 4`
`x = 2/sqrt(3) = (2 sqrt 3)/3`
`y = -((2 sqrt 3)/3)^2+4 = 4-(4*3)/9 = 4-4/3 = 8/3`
Vagyis egy `(4 sqrt 3)/3` és egy `8/3` oldalú téglalap területe lesz a maximális. A csúcsok koordinátái pedig úgy adódik, hogy az `x` koordináták `x=1`-től lesznek `+-(2 sqrt 3)/3` távolságra, az `y` koordináták pedig `0` és `8/3`, vagyis:
`P(1-(2 sqrt 3)/3; 0)", "Q(1+(2 sqrt 3)/3; 0)", "R(1+(2 sqrt 3)/3; 8/3)", "S(1-(2 sqrt 3)/3; 8/3)`
0
- Még nem érkezett komment!