No kezdjük elölről Tegnap jobban be se nézhettem volna a feladatot. Gúlát számolok, erre hasáb a feladat. Mondjuk így most már vagy 600-szor több értelme van a feladatnak...

`A = "1012 cm"^2`
`h = "12 cm"`
`V = ?`

Először is, az alapunk egy szabályos hatszög. Ennek kéne a területe. Ha mindegyik csúcsát összekötjük a hatszög középpontjával, akkor 6 darab szabályos háromszöget kapunk. Ez könnyen belátható, mivel hat egyenlő részre osztjuk a középpontot, tehát `360/6 = 60°`-os szögeket kapunk. Ekkor a maradék két szögnek is muszáj 60°-nak lennie, mivel ezek egyenlő szárú háromszögek, mivel a hatszög szabályos, tehát a másik két szög egyenlő egymással és ez csakis úgy lehetséges, hogy 60-60 fokosak.

Most hogy ez megvan az alap területe már egyszerű, mert 6 darab egyenlő oldalú háromszögből áll. Ha ezeket a magasságuk mentén megfelezzük, akkor egy nevezetes derékszögű háromszöget kapunk, mi 90-60-30 fokos. Ebből kiszámolható az egyenlő oldalú háromszög magassága a Pitagorasz tétellel, ami `m_a = sqrt(3)/2*a` lesz. (Nyugodtan ellenőrizd saját magad is!) A hatszög oldalait pedig nevezzük `a`-nak. Tehát a hatszög területe:
`T_a = cancel 6_3*(a*m_a)/cancel 2 = 3*a*sqrt(3)/2*a = (3 sqrt 3)/2*a^2`

Az oldallapok, - mivel hasábról van szó! - téglalapok lesznek! Tulajdonképpen úgy néz ki az alakzatunk, mint egy ceruza, aminek le van vágva mindkét vége. Ezeknek a téglalapoknak az egyik oldala a hatszög oldala, vagyis `a`, a másik pedig a hasáb magassága, vagyis `h`. (Én `h`-val jelölöm, de ez ne zavarjon össze!) Vagyis a palást területe:
`P = 6*(a*h) = 6*a*12 = 72a`

Tehát a felszín:
`A = 2*T_a+P = cancel 2*(3 sqrt 3)/cancel 2*a^2+72a = 1012 " /"-1012`
`3 sqrt 3*a^2+72a-1012 = 0`

`a_(1,2) = (-72+-sqrt(72^2-4*3 sqrt 3*(-1012)))/(2*3 sqrt 3) = {(a_1 = (-72+sqrt(72^2+1012*12 sqrt 3))/(6 sqrt 3) ~~ "8,653 cm"), (cancel(a_2 = (-72-sqrt(72^2+1012*12 sqrt 3))/(6 sqrt 3) ~~ -"22,509")):}`

Vagyis a térfogat:
`V = T_a*h = (3 sqrt 3)/cancel 2*a^2*cancel 12_6 = 18 sqrt 3*a^2 ~~ "2334,104 cm"^3`

Megszámolni sem tudom, hogy még ebben is mennyi elírásom volt, de most már így jó! Remélem érthető a levezetésem! Szólj nyugodtan ha bármi kérdésed van.