Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matek feladat
Piros888
kérdése
167
Vizsgáljuk meg a sorozatokat monotonitás, korlátosság, konvergencia szempontjából.
an=(1+2+...+n)/((n+1)(n+10)
bn=(1+2+...+n)/(n+4)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
gyula205
megoldása
Legyen `c_n=1+2+...+n=frac{n(n+1)}{2}`.
Ekkor `c_n` behelyettesítései után (nálad az `a_n` nevezőjében egy záró zárójel lemaradt.)
`a_n=frac{n}{2(n+10)}` és `b_n=frac{n(n+1)}{2(n+4)}`.
A konvergencia szempontjából látható, hogy `lim_(n->oo) a_n=lim_(n->oo) frac{n}{2(n+10)}=`
`lim_(n->oo) frac{1}{(2+20/n)}=1/2`. Ebből az a sejtésünk, hogy a konvergens `a_n` sorozatnak ez a legkisebb
felső korlátja, hiszen `forall n in NN` esetén `1/2-a_n=1/2-frac{n}{2(n+10)}=frac{5}{n+10}>0`.
Az `a_n` monotonitásának a kérdését az `a_(n+1)-a_n` különbségének az előjele dönti el, hiszen
`forall n in NN` esetén `a_(n+1)-a_n=frac{n+1}{2(n+1+10)}-frac{n}{2(n+10)}=frac{5}{(n+10)(n+11)}>0`.
Ez azt jelenti, hogy `a_n` sorozat monoton növekedő és felülről korlátos. Az `a_n` sorozat alulról is
korlátos és kielégíti `forall n in NN` esetén az `0 le a_n < 1/2` egyenlőtlenséget.
Nézzük meg, hogy a konvergencia szempontjából mi történik a `b_n` sorozattal!
`lim_(n->oo) b_n=lim_(n->oo) frac{n(n+1)}{2(n+4)}=lim_(n->oo) frac{n^2+n}{2n+8}=`
`=lim_(n->oo) frac{n+1}{2+8/n}=oo`. Tehát a `b_n` sorozat divergens lesz és felülről nem lesz korlátos,
csak annyit tudunk róla mondani, hogy alulról korlátos, hiszen `b_n ge 0`.
Az `b_n` monotonitásának a kérdését az `b_(n+1)-b_n` különbségének az előjele dönti el, hiszen
`forall n in NN` esetén `b_(n+1)-b_n=frac{(n+1)(n+2)}{2(n+1+4)}-frac{n(n+1)}{2(n+4)}=frac{(n+1)(n+8)}{2(n+4)(n+5)}>0`.
Ez azt jelenti, hogy `a_n` sorozat monoton növekedő.