Matek feladat

Legyen `c_n=1+2+...+n=frac{n(n+1)}{2}`.
Ekkor `c_n` behelyettesítései után (nálad az `a_n` nevezőjében egy záró zárójel lemaradt.)
`a_n=frac{n}{2(n+10)}` és `b_n=frac{n(n+1)}{2(n+4)}`.

A konvergencia szempontjából látható, hogy `lim_(n->oo) a_n=lim_(n->oo) frac{n}{2(n+10)}=`
`lim_(n->oo) frac{1}{(2+20/n)}=1/2`. Ebből az a sejtésünk, hogy a konvergens `a_n` sorozatnak ez a legkisebb
felső korlátja, hiszen `forall n in NN` esetén `1/2-a_n=1/2-frac{n}{2(n+10)}=frac{5}{n+10}>0`.
Az `a_n` monotonitásának a kérdését az `a_(n+1)-a_n` különbségének az előjele dönti el, hiszen
`forall n in NN` esetén `a_(n+1)-a_n=frac{n+1}{2(n+1+10)}-frac{n}{2(n+10)}=frac{5}{(n+10)(n+11)}>0`.
Ez azt jelenti, hogy `a_n` sorozat monoton növekedő és felülről korlátos. Az `a_n` sorozat alulról is
korlátos és kielégíti `forall n in NN` esetén az `0 le a_n < 1/2` egyenlőtlenséget.

Nézzük meg, hogy a konvergencia szempontjából mi történik a `b_n` sorozattal!
`lim_(n->oo) b_n=lim_(n->oo) frac{n(n+1)}{2(n+4)}=lim_(n->oo) frac{n^2+n}{2n+8}=`
`=lim_(n->oo) frac{n+1}{2+8/n}=oo`. Tehát a `b_n` sorozat divergens lesz és felülről nem lesz korlátos,
csak annyit tudunk róla mondani, hogy alulról korlátos, hiszen `b_n ge 0`.
Az `b_n` monotonitásának a kérdését az `b_(n+1)-b_n` különbségének az előjele dönti el, hiszen
`forall n in NN` esetén `b_(n+1)-b_n=frac{(n+1)(n+2)}{2(n+1+4)}-frac{n(n+1)}{2(n+4)}=frac{(n+1)(n+8)}{2(n+4)(n+5)}>0`.
Ez azt jelenti, hogy `a_n` sorozat monoton növekedő.