Egyenletrendszerek

3. Legyen az először beszélő pénze `x` és a másodikként felszólalóé `y`. Ekkor
`{(2/3 y+x = 120), (1/2 x+y = 120):}`

Szorozzuk be kettővel a másodikat és vonjuk ki belőle az elsőt:
`2y-2/3 y = 240-120`
`6/3 y-2/3 y = 120`
`4/3 y = 120 " /"*3`
`4y = 360 " /":4`
`y = 90`

Majd `x`-hez behelyettesítünk valamelyik eredeti egyenletbe:
`1/2 x+90 = 120 " /"-90`
`1/2 x = 30 " /"*2`
`x = 60`

Vagyis ez elsőnek beszélőnek 60 ezüstje van, a másodiknak beszélőnek pedig 90 ezüstje!

4.
Legyen `x` amennyi az első hordóban volt eredetileg és `y` amennyi a másodikban. Mivel az első mondat úgy szól, hogy az első hordóból átöntünk annyit, amennyi a másodikban van, így biztosan `x > y`. Tehát először is
`x+y = 480`

Majd ha az elsőből átöntünk a másodikba annyit, amennyi a másodikban van akkor az elsőben `x-y` liter bor van, a másodikban pedig `2y`. Aztán `2y`-ból visszaöntünk annyit amennyi most a másikban van, vagyis `x-y`-t, tehát az elsőben `2(x-y)` bor van a másodikban pedig `2y-(x-y)` és tudjuk, hogy ez a kettő egyenlő, vagyis
`2(x-y) = 2y-(x-y)`

Egyből egyszerűsítsük is ezt a második összefüggést:
`2(x-y) = 2y-(x-y) " /"+(x-y)`
`3(x-y) = 2y`
`3x-3y = 2y " /"+3y`
`3x = 5y`

Tehát ez a két egyenletünk van:
`{(x+y = 480), (3x = 5y):}`

Tehát `x = 5/3 y`, vagyis
`5/3 y+y = 480`
`8/3 y = 480 " /":8`
`1/3 y = 60 " /"*3`
`y = 180`

`x` pedig:
`x = 5/3*180 = 5*60 = 300`

Vagyis az első hordóban 300 liter bor volt, a másodikban pedig 180 liter!