Trigonometria, segítsét?!

Szinusza, koszinusza, tangense és kotangense szögeknek van. A rajzolt háromszögben van 3 szög is, bár a derékszög annyira nem érdekes. Lehet az a feladat, hogy ki kell számolni 30°-kal és 60°-kal ezeket az értékeket... Ezek nevezetes szögek, úgyhogy a szögfüggvény értékeik is azok.

Csak be kell ütni a számológépbe!
`sin 30° = 1/2`

`cos 30° = sqrt(3)/2`

`"tg"\ 30° = 1/sqrt(3) = sqrt(3)/3`

`"ctg"\ 30° = sqrt 3`

`sin 60° = sqrt(3)/2`

`cos 60° = 1/2`

`"tg"\ 60° = sqrt 3`

`"ctg"\ 60° = 1/sqrt(3) = sqrt(3)/3`

Na szóval! Jól sejtettem, hogy itt a nevezetes szögek szögfüggvényeiről lesz szó.

Az a derékszögű háromszög, amit órán vettetek azért különleges, mert egyenlő szárú, tehát a befogóinak az aránya `1\ :\ 1`, vagyis ugyanolyan hosszúak, tehát konkrétan egy "négyzetnek a fele". Erről meg is állapítottátok, hogy ha a szárak hossza `a`, akkor az átfogó az `sqrt(2) a`, amivel mindegyik oldal ki van fejezve az egyik oldallal. Tehát annak a háromszögnek az oldalai: `a, a` és `sqrt(2) a`. Ennél a háromszögnél is ezt kell tenni.

Ez a derékszögű háromszög azért különleges, mert ha a 30°-os szögét kiegészítjük 60°-ra azzal megkapjuk ugyanennek a háromszögnek a tükörképét és a kettő együtt egy egyenlő oldalú háromszöget ad, vagyis ez a derékszögű háromszög egy egyenlő oldalú háromszögnek a fele! Az ábrán jól látható.

Ebből azt vehetjük észre, hogy a `b` oldal az pont a `c` átfogó fele! Szóval
`b = 1/2 c`
Vagy
`c = 2b`
Csak attól függ, hogy honnan nézzük.

Ezzel egyből megvan az egyik oldal kifejezve a másikkal. Már csak az `a`-t kéne kifejeznünk valamelyik másik oldallal és fel is írhatjuk a szögfüggvényeket, mint ahogyan órán is tettétek. Az `a` oldalt úgy kaphatjuk meg, hogy felírjuk a háromszögre a Pitagorasz-tételt!
`a^2+b^2 = c^2`

Ebbe be is tudjuk helyettesíteni a fenti összefüggés valamelyikét. Mindegy. Legyen a `c = 2b`, mert abban nincs tört. Tehát
`a^2+b^2 = (2b)^2`
`a^2+b^2 = 4b^2 " /"-b^2`
`a^2 = 3b^2 " /"sqrt`
`a = sqrt(3b^2)` (a negatív megoldás itt sem játszik persze)
`a = sqrt(3) b`

Ami azt jelenti, hogy a rövidebbik oldal függvényében ennek a háromszögnek az oldalai: `b, sqrt(3) b, 2b`!

Illetve itt mi is tehetünk egy megfigyelést, mint ahogyan azt órán is tettétek. Az egyenlő oldalú háromszög - amivé egészül ez a derékszögű háromszögünk -, annak az oldala `c` és a magassága az `a` oldal. Most már tudjuk, hogy `a = sqrt(3) b` és `b = 1/2 c`, vagyis
`a = sqrt(3)/2 c`
Ami azt jelenti, hogy bármilyen egyenlő oldalú háromszögnél a magasság az az oldal `sqrt(3)/2`-e! Ez egy ugyanolyan jelentős megfigyelés, mint amit az órán a négyzet átlójára tettetek!

Na de nézzük a szögfüggvényeket!
`sin 60° = a/c = (sqrt(3)/2 cancel c)/cancel c = sqrt(3)/2`

`cos 60° = b/c = (1/2 cancel c)/cancel c = 1/2`

`"tg"\ 60° = a/b = (sqrt(3) cancel b)/cancel b = sqrt 3`

`"ctg"\ 60° = b/a = cancel b/(sqrt(3) cancel b) = 1/sqrt(3) = sqrt(3)/3`

`sin 30° = b/c = (1/2 cancel c)/cancel c = 1/2`

`cos 30° = a/c = (sqrt(3)/2 cancel c)/cancel c = sqrt(3)/2`

`"tg"\ 30° = b/a = cancel b/(sqrt(3) cancel b) = 1/sqrt(3) = sqrt(3)/3`

`"ctg"\ 30° = a/b = (sqrt(3) cancel b)/cancel b = sqrt 3`

Na valószínűleg itt ez volt a feladat! Kicsit érthetetlen számomra, hogy ezt egymagad kellett volna megcsinálnod, de a lényeg, hogy feltetted ide és így legalább kaptál választ rá. Habár szerintem ezt úgy is végig veszitek majd kövi órán... Remélem érthető volt a levezetésem.

Szólj ha bármi kérdésed van!