Matek

A mértani sorozatok fogalmát én se tudom jobban elmesélni, mint amit az interneten találsz.

1. példa

A mértani sorozatok összegére van képlet, amit a függvénytáblázatban is megtalálsz.

`S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)`

Itt `a_1=8`, q=2 ; n=10. Mindent ismersz, behelyettesítesz a képletbe.

`S_(10)=8*(2^(10)-1)/(2-1)` = `8*1023` = 8184

2.

A sorozat n-edik tagjára vonatkozó összefüggés:

`a_n=a_1*q^(n-1)`

`a_4=a_1*q^(4-1)`

`54=2*q^3` /:2

`q^3=27` /köbgyök

`q=3`

A folytatás, mint az első feladatnál:

`S_5=a_1*(q^5-1)/(q-1)` = `2*(3^5-1)/(3-1)` = `2*(243-1)/2` = 242

3,

Az 1. évben 2 %-kal több lesz a pénze, a másodikban az 1. év utáni összeg emelkedik. Az öt év eltelte a sorozat 6. eleme lesz.

Ez mértani sorozatként:

`a_6=a_1*q^5` , ahol `a_1` = 300 000 és `q=1.02` (ez jelenti az évi 2 %-os kamatot)

`x=300000*1.02^5` = 331 224 Ft.

4,

`a_1=60`

`q=1.1`

`S_n` = `a_1*(q^n-1)/(q-1)`

`60*(1.1^n-1)/(1.1-1)=6786` /:60 és ·0.1

`1.1^n-1=1131`

`1.1^n=1132`

logaritmus, ha már volt.

`n*log1.1=log1132`

`n=(log1132)/(log1.1)` = 73,777

A 74. tagtól már nagyobb az összeg.

5,

`a_1=2`

`a_2` = `a_1*q` = -6

`a_2/a_1=q=(-6)/2` = -3

b,

`a_4=a_1*q^3` = `2*(-3)^3` = `2*(-27)` = -54


6,

`a_n=a_1*2^(n-1)` `rightarrow` `a_1=3` és `q=2`

`S_(10)` = `a_1*(q^(10)-1)/(q-1)` = `3*(2^10-1)/(2-1)` = `3*1023` = 3069

7,

`a_n=a_1*q^n`

`a_n` = 16000

`a_1` = 10000

`q=1.03`

`16000=10000*1.03^n` /:10000

`16 = 1.03^n` /log

`n*log(1.03)=log16`

`n=(log16)/(log1.03)` = 93,8

Tehát 94 év múlva éri el a várt mennyiséget.


8,

`a_2=6`

`a_3=a_1*q^2 = -12`

`a_3/a_2` = `(a_1*q^2)/(a_1*q)` = q = `-12/6` = -2

`a_1=a_2/q` = `6/(-2)` = -3

`S_(10)=a_1*(q^(10)-1)/(q-1)` = `cancel((-3))*((-2)^10-1)/cancel((-2-1))` = `1023`.