Elég sok lépése van... Szerintem inkább kérdezz még. Nézzük a (20)-as mit állít. Először is azt kell észrevennünk, hogy itt mivel `2^n` darab számról beszélünk, ezért az eggyel nagyobb `n`-hez nem csak 1 darabbal több számunk lesz, hanem mindig duplázódnak a számok, mivel `2^(n+1) = 2^n*2^1 = 2*2^n`.

Aztán a `2^(n+1)`-ik gyök az törtkitevőben `1/(2^(n+1))`, ami `1/2^n*1/2`, vagyis
`root(2^(n+1))(x) = sqrt(root(2^n)(x))`
Mivel
`x^(a*b) = (x^a)^b = (x^b)^a`

Valamint mivel a gyök alatt mindegyik szám össze van szorozva, ezért a kifejezést bárhol "szétválaszthatjuk", mivel
`sqrt(x*y) = sqrt(x)*sqrt(y)`

Ez történik a (20)-asban.

Jó, várj, elmagyarázom a (21)-est is, mert azzal kvázi már meg is vagyunk.

Mivel a `root(2^n)(a_1*a_2*...*a_(2^n))` és a `root(2^n)(a_(2^n+1)*a_(2^n+2)*...*a_(2^(n+1)))` is `2^n` darab számnak a mértani közepe, ezért kisebb vagy egyenlőek ezeknek a számoknak a mértani közepénél, mivel az az indukciós feltevésünk, hogy ez igaz. Tehát
`root(2^n)(a_1*a_2*...*a_(2^n)) le (a_1+a_2+...+a_(2^n))/(2^n) = x`
és
`root(2^n)(a_(2^n+1)*a_(2^n+2)*...*a_(2^(n+1))) le (a_(2^n+1)+a_(2^n+2)+...+a_(2^(n+1)))/(2^n) = y`

Nevezzük ezeket a számtani közepeket `x`-nek és `y`-nak.
Azt állítja a (21)-es, hogy
`... le sqrt(x*y)`

Ez két számnak a mértani közepe. De mivel feltettük, hogy az kisebb, vagy egyenlő, mint a számtani közép, ezért
`sqrt(x*y) le (x+y)/2`

És
`(x+y)/2 = ((a_1+a_2+...+a_(2^n))/(2^n)+(a_(2^n+1)+a_(2^n+2)+...+a_(2^(n+1)))/(2^n))/2 ``=`` (a_1+...+a_(2^n)+a_(2^n+1)+...+a_(2^(n+1)))/(2*2^n) ``=`` (a_1+...+a_(2^n)+a_(2^n+1)+...+a_(2^(n+1)))/(2^(n+1))`

És ezt kellett belátnunk, mert ez a `2^(n+1)` elem számtani közepe, ami továbbra is kisebb, vagy egyenlő, mint `2^(n+1)` elem mértani közepe.