1.feladat:

468-cal osztható, ha osztható 4-gyel, 9-cel és 13-mal. A 9-cel való oszthatósághoz az kell, hogy a számjegyek összege is osztható legyen 9-cel. Ez már teljesül, tehát a beírandó számjegy csak 0 vagy 9 lehet. 4-gyel akkor osztható, ha az utolsó két számjegyéből képzett szám is osztható 4-gyel. Ezek figyelembevételével viszonylag kevés számot kell csak manuálisan megvizsgálnunk:

9753120 - JÓ!
9753192 - jem jó
9753012 - nem jó
9753912 - nem jó
9750312 - JÓ!
9759312 - nem jó
9705312 - nem jó
9795312 - nem jó
9075312 - nem jó
9975312 - nem jó
0975312 - ha ezt elfogadjuk, akkor JÓ (ez az eredeti szám, egy vezető nullával)

4. feladat:
Ez némi programozói vénával könnyű. A programozók nagyon szeretik a kettőhatvánnyal való szorzást, mert binárisan az csak egy eltolást jelent, így tulajdonképpen aritmetikai műveletet nem is kell végrehajtani.

1*15: 1111
2*15: 11110
4*15: 111100
8*15: 1111000
...

Tehát a végeredmény 4 darab egyest és 2017 darab nullát fog tartalmazni, vagyis a számjegyek összege továbbra is 4 lesz.

3. feladat

Az osztók száma megkapható a prímtényezős felbontásból. Ha egy szám prímtényezős alakja `p_1^(e_1)*p_2^(e_2)*...*p_n^(e_n)`, akkor a szám osztóinak száma `(e_1+1)(e_2+1)...(e_n+1)`. Tehát a 12-t kell előállítanunk pozitív egész számok szorzataként. A lehetőségek:
(1) 12
(2) 3*4
(3) 2*6
(4) 2*2*3

Az 1. lehetőség kiesik, mert a legkisebb ilyen szám a `2^11=2048`, ami bőven nem kétjegyű.

A 2. esethez tartozó legkisebb szám: `2^3*3^2=72`, ez jó is. A második legkisebb a `2^2*3^3=108`, tehát itt több nincs.

A 3. esetben `2^5*3=96` a legkisebb szám, ez jó. A második legkisebb `2^5*5=160`, ez már túl nagy.

Hasonló gondolatmenettel a 4. esethez tartozó lehetőségek:
`2^2*3*5=60`
`2*3^2*5=90`
`2^2*3*7=84`

Tehát az ilyen számok: 60, 72, 84, 90, 96. Ezek összege 402.

6. feladat :

Ez nem nehéz, csak azt kell tudni, hogy:
`sin (pi/2)=1`
`log1=0`
`2^(log_2 9)=9`

Vagyis a jobb oldalon 10 áll. Innentől a feladat a `9x^2-36=0` egyenlet megoldására egyszerűsödik le. Ennek a megoldásai `2` és `-2`, utóbbit azonban ki kell zárnunk, mivel ekkor az eredeti tört nevezőjében nulla áll.

Tehát az egyedüli megoldás `x=2`.

5. feladat

Az egyenlet jobb oldala biztosan negatív vagy nulla, tehát a bal oldal sem lehet pozitív. Innen:
`0>=2x+2-sqrt(8x+4) `
`sqrt(8x+4) >=2x+2`
`8x+4 >=4x^2+8x+4`
`0 >=4x^2`

Ezt egyedül az `x=0` teljesíti, ebből pedig `y=2`.