1.
a) `(10^10)^5-7 = 10^50-7`
Mivel `10` két jegyű, `10^2` három, `10^3` négy, és így tovább, ezért `10^50` 51 jegyű lesz, viszont a -7 miatt eggyel kevesebb lesz, vagyis 50 jegyű a fenti szám.

b) `10^((10^5))-7 = 10^"100 000"-7`
Hasonló okokból kifolyólag ez a szám 100 000 jegyű lesz.

c) `9+99+999+...+ubrace(99...9)_"2011 darab"`
Itt is csak el kell indulni az elején. `9+99` 3 jegyű lesz, `9+99+999` 4 jegyű lesz, és így tovább fog mindig a legnagyobb elem számjegye +1 lenni az összeg számjegyeinek a száma. Vagyis a 2011-iknél 2012 lesz az összeg számjegyeinek a száma.

2.
Kövessük az utasítást... Gyöktelenítsük a kifejezéseket és vegyük észre a mintát, amit követ!
`1/(sqrt 1+sqrt 2) = (sqrt 1-sqrt 2)/((sqrt 1)^2-(sqrt 2)^2) = (sqrt 1-sqrt 2)/(-1) = sqrt 2-sqrt 1`
Tehát
`1/(sqrt 2+sqrt 3) = sqrt 3-sqrt 2`
És így tovább...

Vagyis a a kezdeti sorozat összeg gyöktelenítés után a következőre módosul:
`(cancel sqrt 2-sqrt 1)+(cancel sqrt 3 cancel(-sqrt 2))+(cancel sqrt 4 cancel(-sqrt 3))+...+(cancel sqrt 98 cancel(-sqrt 97))+(cancel sqrt 99 cancel(-sqrt 98))+(sqrt 100 cancel(-sqrt 99))`

Láthatjuk, hogy a következő elemben mindig benne van az előző nagyobbik tagja ellentétes előjellel, így ezek kiütik egymást. Az ilyet "teleszkopikus összegnek" hívjuk, mert az egyszerűsítés előtti többtagú összegből egyszerűsítés után kevesebb tag marad, azaz hasonló dolog történik, mint egy teleszkóp összecsukásakor. Vagyis a pontos összeg az első elem kisebbik tagjából és az utolsó elem nagyobbik tagjából áll a következő módón:
`sqrt 100-sqrt 1 = 10-1 = 9`

Szólj ha bármi kérdésed van!