Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Szimmetrikus trapézzal kapcsolatos számítások

40
Egy egyenlő szárú trapéz átlója 1,3 dm, rövidebb alapja 6 cm, egyik szöge 54°45'. Számítsa ki a trapéz oldalait és a területét. Szinusztétel alkalmazásával végezze a számításokat!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Legyen a nagyobbik alap `a`, a rajta lévő két szög `alpha,` a rövidebbik alap `c`, a rajta lévő két szög `beta`, a szárak `b` és a két átló `e`.

`e = "1,3 dm" = 1"3 cm, " c = "6 cm, " alpha = 54°45' = "54,75°"`

Mivel szimmetrikus a trapéz, ezért 2-2 szöge egyenlő. Vagyis
`2(alpha+beta) = 360 " /":2`
`alpha+beta = 180`
`beta = 180-"54,75" = "125,25°"`

Ez a szög szerepel abban a háromszögben is, amit az átló alkot a rövidebbik alappal és az egyik szárral. Vagyis ebből a háromszögből ismerünk 1 szöget és 2 oldalt, vagyis felírhatjuk rá a szinusztételt. Nevezzük a kisalappal szemközti szöget ebben a háromszögben `alpha_1`-nek, mert az `alpha` szög egy része.
`sin alpha_1/sin beta = c/e => alpha_1 = sin^"-1"((c sin beta)/e) = sin^"-1"((6 sin "125,25°")/13) ~~ "22,143°"`

A háromszög harmadik szöge pedig `beta`-n kívül legyen `beta_1` hasonló okból kifolyólag:
`beta+alpha_1+beta_1 = 180 => beta_1 ~~ 180-"125,25"-"22,143" = "32,607°"`

És még egyszer a szinusz tétel, hogy megtudjuk a szárak hosszát:
`b/e = sin beta_1/sin beta => b = (e\ sin beta_1)/sin beta ~~ (13 sin "32,607°")/sin "125,25°" = "8,578 cm"`

A trapéz két végén van két derékszögű háromszög, hogy ha behúzzuk a kisalap végeihez a magasságot. Ezekben a háromszögekben az egyik szög az `alpha`, az átfogó a trapéz szára, az egyik befogó a trapéz magassága, ez legyen `m`, a másik befogó pedig a nagyalap és a kisalap hosszúságának különbségének fele, mert szimmetrikus a trapéz. Ez legyen `d`. Vagyis
`sin alpha = m/b => m = b sin alpha ~~ "8,578" sin "54,75°" = "7,005 cm"`

`cos alpha = d/b => d = b cos alpha ~~ "8,578" cos "54,75°" = "4,951 cm"`

Mivel a `d` kisalap és nagyalap különbségének a fele, ezért
`d = (a-c)/2 => a = 2d+c ~~ 2*"4,951"+6 = "15,902 cm"`

Vagyis a trapéz területe:
`T = ((a+c)*m)/2 ~~ (("15,902"+6)*"7,005")/2 = "76,716 cm"^2`

Szólj nyugodtan ha bármi kérdésed adódna!
0