16. K2
a)
Ha egyformák a jutalmak akkor csak az számít, hogy ki kapott jutalmat, de az nem, hogy mit kaptak, vagyis "10-ből kell 2-t választani" úgy hogy a sorrend nem számít, akik majd a díjat kapják. Vagyis itt a kérdés egyenértékű azzal, hogy hányféleképpen lehet kiválasztani a 10 diákból kettőt úgy, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít. Lényegében ez a kombinatorika titka: hogy át tudd fogalmazni a kérdést úgy, hogy arra fel tudj írni egy képletet.

Elsőnek 10 diák közül tudunk választani, másodiknak már csak 9-ből. Illetve a kiválasztott két diákot `2!` szerint lehet sorba rendezni (első helyre kettő kerülhet, másodikra már csak egy), vagyis ezzel le kell osztani az előbbit és megkapjuk a választ a kérdésre!
`(10*9)/(2*1) = 45`

b) Itt csak annyi a különbség, hogy mikor választunk a diákok közül, választhatjuk azt is, akit már egyszer kiválasztottunk, mert kaphatja egy diák is mind a két díjat. Viszont ekkor nem kell leosztani a kiválasztottak sorrendjével, mert ha ugyanazt választottuk kétszer, akkor lényegében csak 1 valaki kapott jutalmat. Én ezt a két esetet kettéválasztanám. Ha két különböző diák kapta, az annyi lehetőség, mint amit az előbb kiszámoltunk, és ehhez hozzájön az az eshetőség, ha mindkettőt 1 valaki kapta, ami összesen 10-féleképpen következhet be, mivel 10 diák van csak. Tehát
`(10*9)/(2*1)+10 = 55`

c) Na itt viszont mivel különbözőek a jutalmak, ezért az két külön eset ha valaki az egyiket kapta és ha valaki a másikat, vagyis számít, hogy milyen sorrendben választunk. Elsőnek azt választjuk ki az első jutalmat ki kapja, másodiknak pedig azt, hogy ki kapja a másik jutalmat, vagyis számít az, hogy kit választunk elsőnek és kit másodiknak. Ami csak annyit jelent, hogy nem kell leosztani a lehetséges sorrendekkel, mert azokat ezúttal megkülönböztetjük.
`10*9 = 90`

d) Itt pedig csak annyi az eltérés az előzőhöz képest, hogy másodiknak választhatunk az összes diákból, mert 1 valaki megkaphatja mindkettő jutalmat. Vagyis csak egyszerűen
`10*10 = 100`

14.
a) Ez olyan, mint előbb a d). Számít az, hogy az adott szám hányadik helyre kerül, vagyis számít a sorrend. Illetve a dobásokból kijöhet akár ugyanaz a szám is. Mindegyik számra 6 lehetőség van, vagyis
`6*6*6 = 6^3 = 216`

b) Ilyenkor, amikor "legalább az egyik" 6-os, vagyis több lehetőség is szóba jöhet: lehet csak 1 hatos a számban, lehet 2, vagy lehet mind a 3. Ilyenkor az a legegyszerűbb ha az ellenkezőjét nézzük, mert abból csak 1 lehetőség van: ha nincs a számban 6-os és ilyenkor ezt a számot kell kivonni az összes lehetséges számból (amit előbb kiszámoltunk) és meg is vagyunk! Ha egyáltalán nincs hatos a számban, akkor az olyan mintha csak 5 szám közül választhatnánk minden számjegy helyére, vagyis
`6*6*6-5*5*5 = 6^3-5^3 = 216-125 = 91`

c) Ehhez azt kell tudni (de végig is gondolhatjuk), hogy párosszor páros az páros, páratlanszor páros is páros, és csak páratlanszor páratlan ad páratlant. Három számra már több a lehetőség, de mivel láthatjuk, hogy ha van páros szám a szorzatban, akkor páros lesz a végeredmény is, ezért csak akkor kapunk páratlan, hogy ha mindegyik számjegy páratlan. Itt megint csak célszerű ezt az esetet kiszámolni és levonni az összesből és így megkapjuk mikor páros a szorzatuk (az összes többi esetben). Páratlan szorzatot tehát csakis akkor kapunk, hogyha mindegyik szám páratlan. Ezekből 3 darab van 1 és 6 között, tehát csak ezek közül választhatunk ahhoz, hogy ilyen számot kapjunk, vagyis
`6*6*6-3*3*3 = 6^3-3^3 = 216-27 = 189`

d) Ahhoz, hogy mindkettő benne legyen a számban, ahhoz a 3-ból két számnak ezeknek kell lennie. Tehát csak egy számjegy sorsa tetszőleges, ami 6 darab lehetőség. Viszont! Azt el kell döntenünk, hogy az így kapott számoknak hányféle sorrendje lehet, vagyis összesen hány számot adhatnak ki. Először is ki kell választanunk melyik számjegy lesz a tetszőleges, vagyis amelyiknek az értéke szabadon választott. Három számjegy van, úgyhogy 3 helyen lehet. Majd pedig be kell szorozni a maradék 1-es és 6-os számjegyek lehetséges sorrendjével, mert ha más sorrendben vannak a számban, akkor az más számot ad. Ennek a 2 számnak `2! = 2*1` sorrendje van. Tehát összegezve
`6*3*2! = 6*3*2*1 = 6*6 = 36`

Remélem segített a magyarázat! Kérdezz nyugodtan!