Huha, jó izgalmas feladatok, jó nehéz is bizonyára mind...

Az elsőt nagyjából leírom, hogyan kezdtem hozzá. Te is csináld végig magad minden lépését szerintem:
- Kiszámoltam az első néhány elemét Excel-lel. Feltételeztem, hogy esetleg 1/x alakúak lesznek a többiek is, úgyhogy a reciprokot is kiirattam Excel-lel. Ki is jött, hogy az első néhány elem ez:
1/2, 1/3, 1/8, 1/30, 1/144, 1/840, 1/5760, stb.
(Persze Excel nélkül be is kellene bizonyítani, hogy ezek jönnek ki, meg kellene rájuk egy zárt formula, de egyelőre bizonyítás nélkül tegyük fel, hogy ilyenek.)

- Nézegettem a reciprokok sorozatát (2, 3, 8, 30, 144, 840 stb), de nem ugrott be róluk semmi. Ezért beírtam ezt a sorozatot az OEIS-be (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, https://oeis.org/ ) és ki is jött, hogy ismert a sorozat, és ezeket a zárt képletet írta rá az OEIS:
`(n+1)·(n-1)!`
`((n+1)!)/n`
Írt még néhány másikat is, de ez a kettő valószínűleg a legizgalmasabb, ezek közül is a második tűnik használhatóbbnak.

Persze nekünk a reciproka van, vagyis mondjuk ez lehet egy szimpatikus formula a feladat első kérdéséhez:
`a_n = n/((n+1)!)`

Most persze ez még csak egy sejtés, be is kell bizonyítani a feladat szerinti rekurzív formula felhasználásával. Ezt mondjuk teljes indukcióval lehet megtenni. Próbáld meg.

A végtelen sor összeg:
Azt, hogy a sor konvergál, a hányadoskritériummal nagyon könnyű belátni (az `a_(n+1)/a_n` hányados a 0-hoz tart, nézd meg).
Hogy mi a határérték, az már nem olyan könnyű. A wolframalpha meg tudja mondani, hogy 1:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum(n%3D1+to+%E2%88%9E)+n%2F(n%2B1)!
és ír is egy egyszerű sorozatösszeget. Fogjuk fel ezt sejtésnek, vagyis hogy n=1-től m-ig a sorozatösszeg `1-1/((m+1)!)`. Ezt megint teljes indukcióval viszonylag könnyű bebizonyítani, és akkor már a határérték is simán adódik.