2819,

a,

`8*sin^2x-7*cos^2x=8` /`+15*cos^2x`

`8*sin^2x+8*cos^2x=8+15*cos^2x`

`8*(sin^2x+cos^2x)=8+15*cos^2x`

`8=8+15*cos^2x` /-8

`15*cos^2x=0` /:15

`cos^2x=0`

`cosx=0`

x = `pi/2+k*pi`

ahol `k in ZZ`

b,

`cos^2x-sin^2x=1/2`

`cos(2x)=1/2`

`2x=pi/3+2*k*pi`

`2x= (5*pi)/3+2*k*pi`

`x_1=pi/6+k*pi`

`x_2=(5*pi)/6+k*pi`

2820,

a,

`2*sin^2x+5*cosx-4=0`

`2*(1-cos^2x)+5*cosx-4=0`

`2*cos^2x-5*cosx+2=0`

`(2cosx-1)(cosx-2)=0`

szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.

`2cosx=1`

`cosx=1/2`

`x_1=pi/3+2*k*pi`

`x_2=(5*pi)/3+2*k*pi`

A cosx=2 résznek nincs megoldása.

b,

`cosx=sin^2x-cos^2x`

`cosx=(1-cos^2x)-cos^2x`

`2*cos^2x+cosx-1=0`

`(2*cosx-1)*(cosx+1)=0`

Szorzatakkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.

I. `2*cosx=1`

`cosx=1/2`

`x_1=pi/3+2*k*pi`

`x_2=(5*pi)/3+2*k*pi`

II. `cosx=-1`

`x_3=pi+2*k*pi`

2821,

a,

`cos^2x-sinx=1`

`1-sin^2x-sinx=1` /-1

`sin^2x+sinx=0`

`sinx(sinx+1)=0`

szorzat

I. sinx=0

`x_1=k*pi`

II. `sinx=-1`

`x_2=(3*pi)/2+2*k*pi`

b,

`sin^2x+cosx=1`

`1-cos^2x+cosx=1` /-1

`cos^2x-cosx=0`

`cosx(cosx-1)=0`

szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.

I. `cosx=0`

`x_1=pi/2+k*pi`

II. `cosx=1`

`x_2=2*k*pi`

Mindnél `k in ZZ`.

Ahogy így elnézem, itt az egyedüli, amit tudni kell, hogy `sin^2 x+cos^2 x = 1`, illetve ennek az átrendezéseit használni. Illetve másodfokút megoldani, de az remélem megy!

2819
a)
`8*sin^2 x-7*cos^2 x = 8`
`8 sin^2 x-7(1-sin^2 x) = 8`
`8 sin^2 x-7+7 sin^2 x = 8 " /"+7`
`15 sin^2 x = 15 " /":15`
`sin^2 x = 1 " /"sqrt`
`sin x = +-1 " /"sin^"-1"()`

A szinusz `pi/2`-ben (90°) 1 és `(3 pi)/2`-ben (270°) -1, amik pont `pi` távolságra vannak egymástól, ezért összevonhatóak.
`x_1 = pi/2+k*2 pi", "k in ZZ`
`x_2 = (3 pi)/2+k*2 pi", "k in ZZ`
Összevonva:
`x = pi/2+k*pi", "k in ZZ`

b)
`cos^2 x-sin^2 x = 1/2`
`cos^2 x-(1-cos^2 x) = 1/2`
`cos^2 x-1+cos^2 x = 1/2 " /"+1`
`2 cos^2 x = 3/2 " /":2`
`cos^2 x = 3/4 " /"sqrt`
`cos x = +-sqrt(3)/2`

`"I."\ cos x = sqrt(3)/2 " /"cos^"-1"()`
`x_1 = pi/6+k*2 pi", "k in ZZ`
`x_2 = -pi/6+k*2 pi", "k in ZZ`

`"I."\ cos x = -sqrt(3)/2 " /"cos^"-1"()`
`x_3 = (5 pi)/6+k*2 pi", "k in ZZ`
`x_4 = (7 pi)/6+k*2 pi", "k in ZZ`

Észrevehetjük, hogy az `x_1` és az `x_2` 0-tól térnek el `+-pi/6`-tal, az `x_3` és `x_4` pedig `pi+-pi/6` és mivel 0 és `pi` egyenlő távolságra vannak, ezért összevonható `x_1` és `x_4`, ill. `x_2` és `x_3`, és még ez a két-két pár is, hogy ha használjuk a `+-` jelet:
`x_(1,4) = pi/6+k*pi", "k in ZZ`
`x_(2,3) = -pi/6+k*pi", "k in ZZ`
Együtt pedig
`x = +-pi/6+k*pi", "k in ZZ`

2820
a)
`2*sin^2 x+5*cos x-4 = 0`
`2(1-cos^2 x)+5 cos x-4 = 0`
`2-2 cos^2 x+5 cos x-4 = 0 " /"*(-1)`
`2 cos^2 x-5 cos x+2 = 0`
Ez láthatjuk, hogy egy másodfokú egyenlet, csak itt nem egy betű a változó, hanem `cos x`, de ilyenkor fel lehet venni egy új változót, ami mondjuk `u = cos x` és ha ezzel átírjuk az egyenletet úgy már biztosan ismerősebb lesz:
`2u^2-5u+2 = 0`
`u_(1,2) = (5+-sqrt(25-4*2*2))/4 = (5+-3)/4 = {(u_1 = (5+3)/4 = 2), (u_2 = (5-3)/4 = 1/2):}`

`"I."\ cos x = 2`
Ennek nincs megoldása, mert `-1 le cos x le 1`.

`"II."\ cos x = 1/2 " /"cos^"-1"()`
`x_1 = pi/3+k*2 pi", "k in ZZ`
`x_2 = (5 pi)/3+k*2 pi", "k in ZZ`

b)
`cos x = sin^2 x-cos^2 x`
`cos x = (1-cos^2 x)-cos^2 x`
`cos x = 1-2 cos^2 x " /"+2 cos^2 x-1`
`2 cos^2 x+cos x-1 = 0 " /"\ u=cos x`
`2u^2+u-1 = 0`
`u_1 = 1/2 ", " u_2 = -1`

`"I."\ cos x = 1/2 " /"cos^"-1"()`
`x_1 = pi/3+k*2 pi", "k in ZZ`
`x_2 = (5 pi)/3+k*2 pi", "k in ZZ`

`"II."\ cos x = -1 " /"cos^"-1"()`
`x_3 = pi+k*2 pi", "k in ZZ`

2821
a)
`cos^2 x-sin x = 1`
`(1-sin^2 x)-sin x = 1 " /"-1`
`cancel 1-sin^2 x-sin x cancel(-1) = 0 " /"*(-1)`
`sin^2 x+sin x = 0 " /"\ u = sin x`
`u^2+u = 0`
`u(u+1) = 0`
Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tagja 0.
`"I."\ u_1 = 0`
`"II."\ u+1 = 0 => u_2 = -1`

`"I."\ sin x = 0 " /"sin^"-1"()`
`x_1 = k*pi", "k in ZZ`

`"II."\ sin x = -1 " /"sin^"-1"()`
`x_2 = (3 pi)/2+k*2 pi", "k in ZZ`

b)
`sin^2 x+cos x = 1`
`(1-cos^2 x)+cos x = 1 " /"-1`
`cancel 1-cos^2 x+cos x cancel(-1) = 0 " /"*(-1)`
`cos^2 x-cos x = 0 " /"\ u=cos x`
`u^2-u = 0`
`u(u-1) = 0`
Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tagja 0.
`"I."\ u_1 = 0`
`"II."\ u-1 = 0 => u_2 = 1`

`"I."\ cos x = 0 " /"cos^"-1"()`
`x_1 = pi/2+k*pi", "k in ZZ`

`"II."\ cos x = 1 " /"cos^"-1"()`
`x_2 = k*2 pi", "k in ZZ`

Nyugodtan szólj ha bármi kérdésed van!