Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Térgeometria sorozatokkal vegyítve

44
Egy téglatest térfogata 192 cm³, az egy csúcsban összefutó élek hosszának összege 18 cm. Az élek hosszai egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Mekkora a téglatest felszíne valamint a testátlójának hossza?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Nevezzük a téglatest három oldalát `a, b, c`-nek.
`V = a*b*c = "192 cm"^3 ", " a+b+c = "18 cm, "`

Azt pedig, hogy `a, b, c` egy számtani sorozat egymást követő tagjai úgy tudjuk felírni, hogy az egymás mellettiek különbsége ugyanannyi, legyen `d`, vagyis ugyanannyival nővek. Tehát ha például `a` a legrövidebb oldal és `c` a leghosszabb, akkor `b=a+d` és `c = a+2d`. Ezeket vissza tudjuk helyettesíteni a fenti két egyenletbe. Ekkor két egyenletünk lesz `a`-ra és `d`-re.
`{(a*(a+d)*(a+2d) = 192), (a+(a+d)+(a+2d) = 18):}`

Egyszerűsítsük mindkettőt!
`3a+3d = 18 " /":3`
`a+d = 6`

Ezt rögtön be is helyettesíthetjük:
`a*(a+d)*(a+2d) = 192`
`a*6*(a+2d) = 192`
`6a^2+12ad = 192`

`a+d = 6 => d = 6-a`
`6a^2+12a*(6-a) = 192 " /":6`
`a^2+12a-2a^2 = 32`
`12a-a^2 = 32 " /"+a^2-12a`
`a^2-12a+32 = 0`
`a_1 = 4 ", " cancel(a_2 = 8)`, mert `a+d = 6`, tehát `a, d lt 6`

`4+d = 6`
`d = 2`

Vagyis a téglalap három oldala:
`a = "4 cm"`
`b = 4+2 = "6 cm"`
`c = 4+2*2 = "8 cm"`

A felszín:
`F = 2(ab+bc+ca) = 2(4*6+6*8+8*4) = 2(24+48+32) = 2*104 = "208 cm"^2`

A testátló pedig:
`e = sqrt(a^2+b^2+c^2) = sqrt(4^2+6^2+8^2) = sqrt(16+36+64) = sqrt 116 = 2 sqrt 29 ~~ "10,770 cm"`

Nyugodtan szólj ha bármi kérdésed van!
0