Durva általános iskolába járhatsz öreg

1.
`a = 12/sqrt(6)+sqrt((1-sqrt 6)^2)+abs(-1) ``=`` 12/sqrt(6)+abs(1-sqrt 6)+1 ``=`` 12/sqrt(6)+sqrt 6 cancel(-1) cancel(+1) ``=`` 12/sqrt(6)+6/sqrt(6) ``=`` 18/sqrt(6)*sqrt(6)/sqrt(6) ``=`` 3 sqrt 6`


`b = abs(2-sqrt 12)+2*sqrt((-1+sqrt 3-3 sqrt 6)^2) ``=`` 2 sqrt 3-2+2*abs(sqrt 3-3 sqrt 6-1) ``=`` 2 sqrt 3-2+2(1+3 sqrt 6-sqrt 3) ``=`` cancel(2 sqrt 3) cancel(-2) cancel(+2)+6 sqrt 6 cancel(-2 sqrt 3) ``=`` 6 sqrt 6 = 2*3 sqrt 6`

a)
Mivel `b` kétszer annyi, mint `a`
`m = min{a; b} = a`
`M = max{a; b} = b`

b)
`m_a = (a+b)/2 = (3 sqrt 6+6 sqrt 6)/2 = (9 sqrt 6)/2`

`m_g = sqrt(a*b) = sqrt((3 sqrt 6)(6 sqrt 6)) = sqrt(3*6*6) = 6 sqrt 3`

c)
`m = 3 sqrt 6 = sqrt(3^2*6) = sqrt 54`
`m_g = 6 sqrt 3 = sqrt(6^2*3) = sqrt 108`
`m_a = (9 sqrt 6)/2 = sqrt((9^2*6)/2^2) = sqrt((81*3)/2) = sqrt(243/2) = sqrt "121,5"`
`M = 6 sqrt 6 = sqrt(6^2*6) = sqrt 216`

Vagyis tényleg teljesül, hogy
`sqrt 54 le sqrt 108 le sqrt "121,5" le sqrt 216`

2.
a)
`sqrt(225^2-224*225) = sqrt(225*(225-224)) = sqrt 225 = 15 in QQ`

Az `1+3+5+7+...+35+37` felírható egy számtani sorozatként, ahol `a_1 = 1", " a_n = 37", " d = 2`, és tudjuk, hogy
`a_n = a_1+(n-1)*d`
`37 = 1+(n-1)*2 " /"-1`
`36 = 2n-2 " /"+2`
`38 = 2n " /":2`
`n = 19`

Illetve tudjuk, hogy
`S_n = ((a_1+a_n)*n)/2`

Így tehát
`sqrt(1+3+5+7+...+35+37) = sqrt(((1+37)*19)/2) = sqrt((cancel 38_19*19)/cancel 2) = sqrt(19^2) = 19 in QQ`
``
b)
`sqrt(499*500)` Mivel a `499` egy prím szám, így `499*500` nem lehet egy négyzet szám, vagyis ez a szám irracionális.

`sqrt(1*3*5*7*...*35*37)` Mivel `37` prím, a többi szám pedig mind kisebb ennél, így a gyökjel alatt nem szerepelhet ez a szám megint, vagyis a szorzat biztosan nem egy négyzet szám, így ez a szám irracionális.

c)
`sqrt(4^n+2^(2n+3)) = sqrt((2^2)^n+2^(2n)*2^3) = sqrt(2^(2n)+8*2^(2n)) = sqrt(2^(2n)(1+8)) = sqrt((2^n)^2*3^2) = sqrt((2^n*3)^2) = 3*2^n in QQ`

`sqrt(5*n+7)`

Ha `n=0`, akkor
`sqrt(5*n+7) = sqrt 7`, ami irracionális

Ha `n ne 0`, akkor
`sqrt(5*n+7) = sqrt(n(5+7/n))` Ahhoz, hogy ez a szám racionális legyen, ahhoz legalább `7/n`-nek egésznek kéne lennie. Ez `n=1`-re és `n=7`-re teljesül, de akkor a szám `sqrt(5*1+7)= sqrt 12` és `sqrt(5*7+7) = sqrt 42`, amik közül egyik sem racionális, vagyis a szám irracionális.

3.
a)
`x = sqrt 3+2 sqrt 3+3 sqrt 3 = 6 sqrt 3`
`y = sqrt 98-sqrt 128+sqrt 50 = 7 sqrt 2-8 sqrt 2+5 sqrt 2 = 4 sqrt 2`
`z = sqrt 2*sqrt 2+(sqrt 3)^2-2 sqrt 5*3 sqrt 5 = 2+3-2*3*5 = 5-30 = -25`

Vagyis
`z lt y lt x`

b)
`x*sqrt 3+abs z-y*sqrt 2 = (6 sqrt 3)*sqrt 3+abs(-25)-(4 sqrt 2)*sqrt 2 = 6*3+25-4*2 = 18+25-8 = 35`

Máskor légyszi külön tedd fel, mert együtt ennyi túl sok.