Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Számelmélet
LosBlancos
kérdése
754
1. Létezik-e egész megoldása az alábbi egyenleteknek? Válaszát indokolja is! ( A megoldást nem kell megadni!)
a, 121x + 451y = 1000
b, 93x + 806y = 3162
c, 102x + 320y = 504
2. Létezik-e megoldása az alábbi kongruenciának? Válaszát indokolja is! ( A megoldást nem kell megadni!)
45x ≡ 138 mod(480)
Tehát annyi lenne a lényeg, mi alapján tudom ezekről RÁNÉZÉSRE eldönteni, hogy létezik-e megoldása vagy sem.
Előre is köszönöm a választ!
a, 121x + 451y = 1000
b, 93x + 806y = 3162
c, 102x + 320y = 504
2. Létezik-e megoldása az alábbi kongruenciának? Válaszát indokolja is! ( A megoldást nem kell megadni!)
45x ≡ 138 mod(480)
Tehát annyi lenne a lényeg, mi alapján tudom ezekről RÁNÉZÉSRE eldönteni, hogy létezik-e megoldása vagy sem.
Előre is köszönöm a választ!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
egyenlet, számelmélet, kongruencia, diafonikus
egyenlet, számelmélet, kongruencia, diafonikus
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
1a)
121=11²
451=11·41
vagyis
11·(11x+41y)=1000
viszont 1000 nem osztható 11-gyel, tehát nincs egész megoldás.
1b)
93=3·31
806=2·13·31
3162=2·3·17·31
Lassú megoldás, csak elemi belegondolásokkal:
31·(3x+2·13y)=31·(2·3·17)
3x+2·13y=2·3·17
Ha x 2-vel, y pedig 3-mal osztható, akkor lesz egész megoldás. Ugyanis:
x=2a
y=3b
3·2a+2·13·3b=2·3·17
a + 13b = 17
Ennek végtelen sok egész megoldása van, ez ránézésre látszik. Valójában azért, mert 1 és 13 relatív prím.
Gyors megoldás tanult tétellel:
93 és 806 lnko-ja 31, ezzel osztható a 3162, tehát van megoldás.
Ugyanis bizonyára tanultatok egy olyan tételt, hogy ha
ax+by=c
akkor ennek akkor van egész megoldása x-re és y-ra, ha a és b lnko-ja osztja c-t.
Lehet, hogy úgy tanultátok, hogy ennek a lineáris kongruenciának:
ax ≡ c (mod b)
akkor van megoldása, ha (a, b) | c
ami szavakkal kiírva azt jelenti, hogy
akkor van megoldása, ha a-nak és b-nek az lnko-ja (legnagyobb közös osztója) osztja c-t.
1c)
102=2·3·17
320=2⁶·5
504=2³·3²·7
Itt csak a gyors megoldást mondom:
102 és 320 lnko-ja 2, ezzel osztható 504, tehát van egész megoldás.
2)
(45, 480) = 15, szavakkal: 45-nek és 480-nak az lnko-ja 15, ami nem osztója 138-nak, tehát nincs megoldás.
121=11²
451=11·41
vagyis
11·(11x+41y)=1000
viszont 1000 nem osztható 11-gyel, tehát nincs egész megoldás.
1b)
93=3·31
806=2·13·31
3162=2·3·17·31
Lassú megoldás, csak elemi belegondolásokkal:
31·(3x+2·13y)=31·(2·3·17)
3x+2·13y=2·3·17
Ha x 2-vel, y pedig 3-mal osztható, akkor lesz egész megoldás. Ugyanis:
x=2a
y=3b
3·2a+2·13·3b=2·3·17
a + 13b = 17
Ennek végtelen sok egész megoldása van, ez ránézésre látszik. Valójában azért, mert 1 és 13 relatív prím.
Gyors megoldás tanult tétellel:
93 és 806 lnko-ja 31, ezzel osztható a 3162, tehát van megoldás.
Ugyanis bizonyára tanultatok egy olyan tételt, hogy ha
ax+by=c
akkor ennek akkor van egész megoldása x-re és y-ra, ha a és b lnko-ja osztja c-t.
Lehet, hogy úgy tanultátok, hogy ennek a lineáris kongruenciának:
ax ≡ c (mod b)
akkor van megoldása, ha (a, b) | c
ami szavakkal kiírva azt jelenti, hogy
akkor van megoldása, ha a-nak és b-nek az lnko-ja (legnagyobb közös osztója) osztja c-t.
1c)
102=2·3·17
320=2⁶·5
504=2³·3²·7
Itt csak a gyors megoldást mondom:
102 és 320 lnko-ja 2, ezzel osztható 504, tehát van egész megoldás.
2)
(45, 480) = 15, szavakkal: 45-nek és 480-nak az lnko-ja 15, ami nem osztója 138-nak, tehát nincs megoldás.
1
- Még nem érkezett komment!