Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Konvex deltoid területe, szögei

146
a, Egy konvex Deltoid két oldalának hossza 7 cm, illetve 14 cm, és ezek 82,2 °-os szöget zárnak be. Számítsd ki a deltoid területét!
b, Egy konvex Deltoid két oldalának hossza 7 cm és 14 cm, és az egyik átló hossza is 7 cm. Számítsd ki a Deltoid szögeit, területét és a másik átló hosszát!
Neki kezdtem ennek a feladatnak, de nem tudom, hogy pontosan hogyan oldjam meg, valaki letudná vezetni nekem? előre is köszönöm a segítséget!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
11. osztály, Matematika, házi, deltoid
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
a) `a = "7 cm, " b = "14 cm, " beta = "82,2°"`
A deltoid szimmetrikus az egyik átlójára, vagyis olyan, mintha két ugyanolyan háromszögből állna. Mi ennek a háromszögnek ismerjük két oldalát és az ezek közti szöget. Ebből egyből számolható "fél deltoid háromszögnek" a területe, a deltoid területe pedig ennek a kétszerese lesz. Vagyis
`T_/_\\ = (ab sin beta)/2`

`T_"deltoid" = 2* T_/_\\ = ab sin beta = 7*14 sin "82,2°" ~~ "97,093 cm"^2`

Lehet ezt bonyolultabban is, de én nem látom értelmét. Ennyi adat bőven elég a területhez.

b) `a = "7 cm, " b = "14 cm, " e = "7 cm"`
Itt az a különbség, hogy nem tudjuk a két eltérő oldal közötti szöget, hanem helyette a rövidebbik átlót ismerjük. Kicsit szemét a feladat, hogy nem mondja meg, hogy ez a rövidebbik, de ez könnyen belátható, mert hogy ha a hosszabb lenne, akkor ez az átló és a deltoid két eltérő oldala egy háromszöget alkotna. Viszont a 7-7-14 oldalú háromszög az nem háromszög, mivel a két rövidebbik oldal nem hosszabb a leghosszabb oldalnál, vagyis ez egy vonal lenne egy háromszög helyett.

Ha viszont a rövidebbik átlóról van szó, akkor az a rövidebbik oldalakkal és a hosszabbik oldalakkal is két egyenlő szárú háromszöget alkot. Illetve a rövidebbik oldallal egyenlő oldalú háromszöget, mert a rövidebbik oldal ugyanolyan hosszú, mint ez az átló. Ha viszont egyenlő oldalú háromszöget alkot, annak minden szöge is egyenlő, vagyis egyből tudjuk, hogy a deltoid rövidebbik oldalai által bezárt szög `60°` fokot ad. Legyen ez az `alpha` szög. A `beta` az legyen itt is a két eltérő oldal közötti szög. Ebből van 2 ugyanakkora a szimmetria miatt. Az utolsó, hosszabbik oldalak által bezárt szög pedig legyen `gamma`.

A hosszabbik oldalak az átlóval pedig ahogy mondtam egyenlő szárú háromszöget alkotnak. Most nézzük ezt. Ahhoz, hogy megkapjuk a `gamma` szöget használhatnánk koszinusztételt is, de az nagy és otromba. Csinálhatjuk egyszerűbben is. Ha megfelezzük ezt az háromszöget a deltoid másik (egyelőre ismeretlen) átlója mentén, akkor derékszögű háromszögeket kapunk, aminek az egyik szöge `gamma"/2"`, a másikat `beta_1`-nek nevezem, az oldalai pedig a deltoid hosszabbik oldala, mint átfogó jelenik meg a háromszögben, az egyik befogó `e"/"2` , a rövidebb átló fele, a másik befogó pedig a deltoid másik átlójának egy része, de ez minket nem izgat. Ami minket érdekel az ez:
`sin(gamma"/"2) = (e"/"2)/b => gamma = 2 sin^"-1"((e"/"2)/b) = 2 sin^"-1"((7"/"2)/14) = 2 sin^"-1"(1/4) ~~ "28,955°"`

A másik 2 `beta_1` szög pedig úgy adódik, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180°, vagyis
`gamma+2 beta_1 = 180° => beta_1 = (180-gamma)/2 ~~ "75,522°"`

Ezt azért nevezem `beta_1`-nek, mert a deltoid szimmetrikus `beta` szögének csak egy része. Az `e` átló kettébontja ezeket a `beta` szögeket. A másik felel a rövidebbik oldal és az átló által alkotott háromszögben van. Viszont mivel az tudjuk, hogy egyenlő oldalú, ezért a `beta_2 = 60°` lesz, vagyis
`beta = beta_1+beta_2 ~~ "135,522°"`

Tehát a deltoid szögei: `alpha = 60°", " beta = "135,522°, " gamma = "28,955°"`

A területet megint csak nem spiláznám túl. Ugyanúgy, mint előbb:
`T = ab sin beta = 7*14 sin "135,522°" ~~ "68,662 cm"^2`

A másik átlót pedig számolhatjuk a koszinusztétellel akár
`(f^2 = a^2+b^2-2ab cos beta)`

De számolhatjuk a terület képletből is! Miért is ne! Abban nincs annyi négyzet, meg gyök. A deltoid másik terület képlete:
`T = (ef)/2` (ahol `e` és `f` az átlók, nem az oldalak!!)

Ezt egyenlővé tehetjük a másikkal és kifejezhetjük belőle `f`-et.
`(ef)/2 = ab sin beta => f = (2ab sin beta)/e = (2*7*14 sin beta)/7 = 28 sin beta ~~ "19,618 cm"`

Bármi kérdésed van, nyugodtan kérdezz!
Módosítva: 2 hete
0