Hasonló háromszögek:

`y/(30-x)=45/30`

30y=45(30-x)

y=`45-3/2*x`

T = xy = `45x-3/2*x^2`

`T_("max") ` = `(dT)/(dx)` = 45-3*x =0

45 = `3*x`

x = 15

y = `45-3/2*15` = 22,5

T = xy = `15*22.5` = 337,5 `cm^2`

Oké. Ez egy jó kis deriválós feladat.

Én úgy képzelem el az egészet, hogy a 45-ös oldalán fekszik a háromszög és bal oldalt van a derékszög, jobb oldalt pedig az egyik hegyesszög, ami legyen `alpha`. Mivel a téglalap egyik szöge a háromszög derékszöge, ezért a téglalap két oldala felfekszik a háromszög befogóira. Nevezzük a téglalap függőleges oldalát `x`-nek, a vízszinteset pedig `y`-nak. `x` függvényében úgy kaphatjuk a téglalap másik oldalát, `y`-t, hogy észrevesszük, hogy az `x` oldal a háromszög `alpha` szögével egy derékszögű háromszöget alkot. Erre felírhatjuk `alpha` tangensét:
`"tg"\ alpha = x/(45-y)`
`45-y = x/("tg"\ alpha)`
`y = 45-x/("tg"\ alpha)`

Ezzel megvan a kapcsolat a téglalap két oldala között. Már csak `"tg"\ alpha` értékét kéne tudnunk, de az könnyen megkapható, hogy ha az eredeti derékszögű háromszögre írjuk fel:
`"tg"\ alpha = 30/45 = 2/3`

Ezt behelyettesítve a következőt kapjuk `y`-ra:
`y = 45-x/(2/3) = 45-3/2 x`

Ezek után minket a téglalap területe érdekel. Ez `x` függvényében a következő:
`T(x) = x*y = x*(45-(3x)/2) = 45x-3/2 x^2`

Ez egy függvénye `x`-nek, aminek akkor van szélsőértéke (minimuma, vagy maximuma), hogyha a derivált 0. Nézzük a deriváltat.
`T'(x) = 45-3x`

Mivel látjuk, hogy ez egy csökkenő függvény, az azt jelenti, hogy mielőtt nullává válna az értéke azelőtt pozitív a fv, utána pedig negatív, vagyis a zérushelye előtt nő a `T(x)` fv, utána pedig csökken, vagyis `T'(x)=0` valóban egy maximumhely lesz.

Most tegyük egyenlővé 0-val:
`45-3x = 0 " /"+3x`
`3x = 45 " /":3`
`x = 15`

`y = 45-(3*15)/2 = 45-45/2 = 45/2 = "22,5"`

Vagyis akkor lesz a beírható téglalap területe a legnagyobb, ha a téglalap a derékszög `"30 cm"`-es oldalával párhuzamos oldala `"15 cm"`, a `"45 cm"`-essel párhuzamos pedig `"22,5 cm"`, vagyis pont ezen befogóknak a felénél!