Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Kombinatorika

46
Sziasztok!
A megoldása megvan a feladatnak,de nem tudok sajnos rájönni hogyan is kéne kiszámolni,hogy kijöjjön az eredmény .Maga a számolás folyamatára lennék kiváncsi . Előre is köszönöm szépen !
11.osztály Mozaik
Sanyi autószerelõ mûhelyében egy dobozban 60 kerékanya van. Egy négykerekû személyautó fékjeinek beállítása után éppen ezeket teszi a helyükre. (Az anyákat megkülönböztetjük, és az autó minden kerekére négy anyacsavart kell tenni.) A megoldás során ne használjunk számológépet!
a) Hányféleképp veheti ki a dobozból egyszerre az összes kerékre való csavart Sanyi?
b) Sanyi egyszerre mindig csak egy kerékre való csavart vesz ki a dobozból. Ezt hányféleképp
teheti meg?
c) Melyik érték a több, és miért: ha egyszerre veszi ki az összes csavart, vagy ha kerekenként? Mit vegyünk még figyelembe (vagy mitõl tekintsünk el), hogy a két érték egyenlõ legyen?


Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
kombinatorika, matek
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Alapból, a valóságban mindegyik kerékanya ugyanolyan, így nincs értelme megkülönböztetni őket, vagyis 1-féleképpen lehetne "kivenni őket", hiszen az összes ugyanolyan. A kiválasztottak nem különbözőek, ezért mindegyik választás ugyanolyan. Viszont itt azzal, hogy megkülönböztetjük őket, mondjuk mindegyikre írunk egy számot, így kíváncsiak vagyunk rá, hogy egész pontosan "milyen számokat húztunk ki", hogy pontosan melyik kerékanyákat választottuk.

a) Egy kerékre 4 anya kell és egy autónak jobb esetben 4 kereke van, vagyis egy autóhoz `4*4=16` kerékanyára van szükség. Tehát itt az a kérdés, hogy 60 különböző elem közül hányféleképpen választhatunk ki 16-ot. Ez 60 elem 16-od osztályú kombinációi, ami úgy adódik, hogy az első elem választásakor 60 különböző elem közül választhatunk, majd a második kiválasztásánál már csak 59 elemből és így tovább, amíg ki nem választottuk mind a 16-ot. Ez önmagában `60*59*58*...*45` lehetséges választást eredményez. Csakhogy minket nem érdekel, hogy melyiket választotta elsőnek, melyiket másodiknak. A sorrend nem érdekes, csakis az, hogy melyiket választottuk, vagyis ezeket az eseteket le kell osztani az elemek összes sorrendjével, amivel megkapjuk a sorrendtől független lehetőségeket. 16 elem összes sorrendje pedig úgy adódik, hogy "elsőnek választunk" egy elemet, amit 16 elemből tehetünk, másodikat már csak 15 elemből választhatunk és így tovább, vagyis `16*15*14*...*2*1`-féleképpen rendezhetőek sorba. Tehát a válasz:
`(60*59*58*...*46*45)/(16*15*14*...*2*1)`

Ugyanez faktoriálisokkal írva:
`((60!)/(44!))/(16!) = (60!)/(16!*44!) = ((60),(16)) = C_60^16`

Ééés ezt jelenti az ismétlés nélküli kombináció fogalma. De ez nem is annyira lényeges. Tehát a végeredmény:
`(60*59*58*...*46*45)/(16*15*14*...*2*1) = "149 608 375 854 525"` (sok)

b) Itt ugyanazt csináljuk mint az előbb, csak nem egyszerre választunk ki 16-ot, hanem először 60-ból 4-et, aztán megint a maradék 56-ból, aztán megint 52-ből, és utoljára 48-ból 4-et. Ez faktoriálisokkal írva a következőt jelenti:
`(60!)/(4!*cancel(56!))*(cancel(56!))/(4!*cancel(52!))*(cancel(52!))/(4!*cancel(48!))*(cancel(48!))/(4!*44!) = (60!)/((4!)^4*44!) = "9 434 753 006 513 910 075 000"` (még sokkal sokkal több)

c) Na ez egy nagyon jó kérdés! A képletből látszik a különbség. A második esetben kevesebbel osztunk le, `(4!)^4` sokkal, de sokkal kisebb, mint `16!`, úgyhogy én azt gyanítom, hogy az az eltérés, hogy míg az első esetben egyáltalán nem számít a kerékanyák sorrendje, a másodiknál viszont csak a választásokon belüli sorrend nem számít, vagyis a 4-4-4-4 csavar sorrendje, de maguknak a választásoknak a sorrendje igen. Vagyis a második esetben számít, hogy melyik 4 volt az első, melyik 4 volt a második és így tovább. Így aztán az egyes választások által meghatározott anyák sorrendjétől kéne teljes egészében eltekinteni, azaz mindegyik választást kerékanyáit egy helyre kéne tenni és jól megkeverni. Ekkor talán visszakapnánk az első eredményét.

Ha bármi kérdésed van nyugodtan szólj és megpróbálok rá válaszolni!
Módosítva: 2 hete
0