a.)
AB = 24 cm legyen ez az átfogó

AC = `12sqrt3` cm ez az egyik befogó

BC = 12 cm ez a másik befogó

`AB^2` = `AC^2 + BC^2`

`24^2` = `(12sqrt3)^2 + 12^2`

`576` = `576` Tehát biztosan egy derükszögű háromszögről van szó így AC `bot` BC

b.)
`AhatBC` `=>` `Sinalpha` = `(AC)/(AB)` `=>` `Sinalpha` = `(12sqrt3)/(24)` `=>` `Sinalpha` = `0,8660``=>` `alpha` = `60°`

`AhatDC` = `beta` = `(360° - 2*60°)/2` = `120°`

`AhatCD` = `beta-AhatCB` = `120°-90°` = `30°`

`DhatAC` = `gamma` = `180° - 120°-30°` = `30°`

Tehát `AD` = `DC` = 12 cm

c.)
`K` = `2 * AD + DC + AB` = `2 * 12 + 12 + 24` = `60` `cm`

d.)
Mivel az oldalai egyenlő hosszúságúak így az átlói is ugyan akkorák. Ezáltal a metszópont ugyan olyan távol van mind A mind B csúcstól ezáltal egy egyenlő szárú háromszöget ad. Az ábrán is láthatod

e.)
`tanAhatCD` = `(M_("DC"))/((DC)/2)` `=>` `tan30°`= `(M_("DC"))/6` `=>` `M_("DC")` = `3,64` `cm`

`T` = `(DC*M_("DC))/2` = `(12*3,64)/2` = `21,84` `cm^2`

2. `a = AB = "24 cm, " b = BC = DA = "12 cm, " f = AC = 12 sqrt 3\ "cm"`

a)
Nevezzük a nagyalapot `a`-nak, a kisalapot `c`-nek, a szárakat `b`-nek, az átlót pedig `f`-nek. Valamint nevezzük `E`-nek azt a pontot, ahol a `B` csúcsból húzott trapéz magassága metszi az `AB` oldalt. Ez a `BE` magasság és az `AC` átló két derékszögű háromszöget metsz ki a trapézból: az egyik az `AEC`, a másik pedig a `BEC`. Nevezzük mondjuk a trapéz magasságát `m`-nek. Ez az oldal mindkettő háromszögben szerepel. Illetve mindkét háromszögnek az egyik oldala része az `AB`-nek, vagyis az összegük egyenlő az oldal hosszával. Legyen mondjuk az `AEC` háromszögben lévő rész hossza `x`, tehát a másik hossza `24-x`, mivel az `AB` hossza 24 cm. Ekkor fel tudunk írni két Pitagoraszt a két háromszögre:
`{(x^2+m^2 = AC^2), ((24-x)^2+m^2 = BC^2):}`

Az `AC`-t és a `BC`-t ismerjük, tehát ez két egyenlet két ismeretlenre, vagyis egy kétismeretlenes egyenletrendszer `x`-re és `m`-re:
`{(x^2+m^2 = 3*144), ((24-x)^2+m^2 = 144):}`

Ha kivonjuk a másodikat az elsőből, akkor egyből ki is esik az egyik változónk:
`x^2-(24-x)^2 = 2*144`
`cancel x^2-(2*12)^2+48x cancel(-x^2) = 2*144`
`48x-4*144 = 2*144 " /"+4*144`
`48x = 6*144 " /":48`
`x = (6*144)/(6*8) = 144/8 = 18`

`18^2+m^2 = 3*144 " /"-18^2`
`m^2 = 108 " /"sqrt`
`m = sqrt 108 = 6 sqrt 3`

Az `AC` és `BC` közti szöget a `BE` két részre osztja, amik a két derékszögű háromszögeink egy-egy szöge, vagyis a kérdéses `hat(ACB)` szög ezeknek az összege. Nevezzük mondjuk az `AEC`-n belüli részt `alpha_1`-nek, a `BEC`-n belülit pedig `alpha_2`-nek. Ezekre a szögekre felírhatunk bármilyen szögfüggvényt, mert mindkét háromszög derékszögű és már az összes oldalait ismerjük.
`cos alpha_1 = m/(AC) => alpha_1 = cos^"-1"((cancel 6 cancel sqrt 3)/(cancel 12_2 cancel sqrt 3)) = cos^"-1"(1/2) = 60°`

`cos alpha_2 = m/(BC) => alpha_2 = cos^"-1"((cancel 6 sqrt 3)/cancel 12_2) = cos^"-1"(sqrt(3)/2) = 30°`

Vagyis az `AC` és a `BC` közötti szög:
`hat(ACB) = alpha_1 + alpha_2 = 60+30 = 90° ∎`

b)
Kiszámoltuk, hogy `24-x = 24-18 = "6 cm"` az a hossz, amivel a nagy alap hosszabb a kisalapnál a trapéz jobb oldalánál. Viszont, mivel ez egy egyenlő szárú trapéz, így szimmetrikus, vagyis ugyanennyivel hosszabb a másik oldalt is, vagyis a kisalap hossza:
`CD = 24-2*6 = 24-12 = "12 cm"`

c)
`K = AB+2*BC+CD = 24+2*12+12 = 5*12 = "60 cm"`

d)
Nevezzük a szárak nagyalappal bezárt szögét `beta`-nak. Mivel a `BEC` derékszögű háromszög és már ismerjük egy szögét, az `alpha_2`-t, ezért
`beta = 90-alpha_2 = 60°`

Ez lesz az `MAB` háromszögnek is a két szöge. Ha viszont két szöge 60° akkor a harmadik is, vagyis mindegyik szöge egyenlő, tehát egyenlő oldalú!

e)
A `beta` lesz az `MDC` háromszög alappal (`CD`) bezárt szöge is, mivel a `CD` és `AB` párhuzamosak. Már csak a magassága kell ahhoz, hogy kiszámolhassuk a területét. Nevezzük ezt mondjuk `m_2`-nek jobb híján. Ezt úgy kaphatjuk meg, hogy tudjuk, hogy az `MDC` és az `MAB` háromszögek hasonlóak, vagyis a kettő magasságának aránya egyenlő a megfelelő oldalaik arányával. Tehát
`m_2/(m+m_2) = (CD)/(AB)`
`m_2/(m+m_2) = 1/2 " /"*2(m+m_2)`
`2m_2 = m+m_2 " /"-m_2`
`m_2 = m`

Ami azt jelenti, hogy az `MDC` magassága megegyezik a trapéz magasságával! Így végül a területe:
`T_(MDC) = (CD*m_2)/2 = (cancel 12_6*6 sqrt 3)/cancel 2 = 36 sqrt 3 ~~ "62,354 cm"^2`