7.
Van benne pár elírás.

Odáig ok, hogy
`(y')/y=(x-x+1)/x^2·"ln"(x^2+1)+(x-1)/(x·(x^2+1))·2x`
Mondjuk lehetne így egyszerűsíteni:
`(y')/y=("ln"(x^2+1))/x^2+(2(x-1))/(x^2+1)`
de nem baj.
Viszont utána az y-nal való szorzásnál te csak az első tagot szoroztad, nem a teljes jobb oldalt. Ez kellene legyen:
`y'=(x^2+1)^((x-1)/x)(("ln"(x^2+1))/x^2+(2(x-1))/(x^2+1))`

Utána is elrontottad, amikor a végeredményt felírtad, valamiért újra beszoroztad az egészet `2x`-szel. Nem kell, már `y'` kiszámításakor megtörtént.
Ez lesz:
`g'=1/((x^2+1)^((x-1)/x)·"ln "2)(x^2+1)^((x-1)/x)(("ln"(x^2+1))/x^2+(2(x-1))/(x^2+1))`
Ami egyszerűsödik:
`g'=1/("ln "2)(("ln"(x^2+1))/x^2+(2(x-1))/(x^2+1))`

5)
jó.

6)
Kis hiba van benne: `cos 3x` deriváltja `-3sin3x`. A második LH-nál szintén lesz egy 3-as szorzó a nevezőben, összesen tehát `1/9`, a gyök után `1/3` a végeredmény.

----
Ismered egyébként a wolframalpha honlapot? Ott ellenőrizheted a megoldásodat:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim(x-%3E0)+sqrt((ln(1%2Bx)-x)(-1%2Bcos(3x))%5E(-1))
Nem vezeti le, hogy hogyan jön ki a megoldás, de ellenőrzésre jó. (A fizetős változat le is vezeti.)