Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Elipszis érintő egyenlete

73
Határozzuk meg a 16x² + 25y² = 400 elipszis és az x² + y² = 20 kör közös értintőinek az egyenletét.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Mivel mindkét alakzat origó középpontú, négy egyenes egyenletet fogunk találni.

Írjuk fel a kör érintőinek általános egyenletét:

`(mx+b)^2+x^2=20`

`x^2*(m^2+1)+x*2mb+b^2-20=0`

diszkrimináns nulla:

`(2mb)^2-4*(m^2+1)*(b^2-20)=0`

`m^2-(m^2b^2+b^2-20m^2-20)=0`

`m^2(1-b^2+20)+20-b^2=0`

`m^2=(b^2-20)/(1-b^2+20)`

Ugyanezt az ellipszisre:

`16x^2+25(mx+b)^2=400`

`16x^2+25m^2x^2+50mbx+25b^2-400=0`

itt is nulla a diszkrimináns:

`(50mb)^2-4*(16+25m^2)(25b^2-400)=0`

`cancel(2500m^2b^2)-cancel(2500m^2b^2)-1600b^2+25600+40000m^2=0`

`16b^2-256=400m^2`

`m^2=(16b^2-256)/400`

`b^2=a` helyettesítéssel:

`(16a-256)/400=a/20-1`

a-ra megoldod, a=36

`b=pm6` `rightarrow` m= visszahelyettesítesz. `root()((6^2-256)/400)` = `root()(8/10)` (plusz és minusz)

A négy egyenlet egybegyúrva:

`y = pm 6 pm root()(8/10)*x`
1

A számolást kicsit részletezve:
`(2mb)^2-4(m^2+1)(b^2-20) = 0`
`4m^2 b^2-4(m^2 b^2-20m^2+b^2-20) = 0`
`cancel(4m^2 b^2) cancel(-4m^2 b^2)+80m^2-4b^2+80 = 0 " /"+4b^2`
`4b^2 = 80(m^2+1) " /":4`
`b^2 = 20(m^2+1)`

`(50mb)^2-4(25m^2+16)(25b^2-400) = 0`
`(50mb)^2-4*25(25m^2+16)(b^2-16) = 0 " /":100`
`cancel(25m^2 b^2) cancel(-25m^2 b^2)+400m^2-16b^2+256 = 0 " /"+16b^2`
`16b^2 = 16(25m^2+16) " /":16`
`b^2 = 25m^2+16`

`20m^2+20 = 25m^2+16 " /"-20m^2-16`
`5m^2 = 4 " /":5`
`m^2 = 4/5 " /"sqrt`
`m = +-sqrt(4/5)`

`b^2 = 20(4/5+1)`
`b^2 = cancel 20_4*9/cancel 5`
`b^2 = 36 " /"sqrt`
`b = +-6`
0