És nem megy egyik feladat sem?

Szerk.: Egyébként ha nem egy feladatba teszed ki, hanem mondjuk 9-be - oldalanként 1 feladatba -, akkor egyszerre többen is tudnák oldani, így viszont nincs értelme.

Ez egy kicsit sok egyszerre. Jobban tennéd, ha egyesével tennéd ki. De most megcsinálom az utolsó oldalt.

`1.`
`a=3` `cm`
`alpha=18.5°`

`tgalpha=a/b`
`tg18.5°=3/b`
`tg18.5°*b=3` `//÷tg18.5°`
`b=3/(tg18.5°)≈8.97` `cm`

`2.`
`c=4.7` `cm`
`alpha=52.5°`
`b=?`

`cosalpha=b/c`
`cos52.5°=b/(4.7)` `//*4.7`
`b≈2.86` `cm`

`3.`
`a=5` `cm`
`c=13` `cm`

`sinalpha=a/c`
`sinalpha=5/(13)`
`alpha=sin^(-1)(5/(13))≈22.62°`

`sinbeta=b/c`
`b=sqrt(c^2-a^2)`
`b=sqrt(13^2-15^2)=12` `cm`
`sinbeta=(12)/(13)`
`beta=sin^(-1)((12)/(13))≈67.38°`

`4.`
`a=2`
`c=5`
`alpha=?`

`sinalpha=a/c`
`sinalpha=2/5`
`alpha=sin^(-1)(2/5)≈23.58°`

`5-6.`

Mivel ezek általános, ezért a szinusz-, és a koszinusztételt használhatjuk.

`a)`
`a=14` `cm`
`b=16` `cm`
`beta=57°`

`a/(sinalpha)=b/(sinbeta)`
`14/(sinalpha)=(16)/(sin57°)` `//*sinalpha`
`14=(16)/(sin57°)°*sinalpha` `//÷(16)/(sin57°)`
`sinalpha≈0.73`
`alpha=sin^(-1)(0.73)≈46.89°`

`gamma=180°-57°-46.89=76.11°`

`c^2=a^2+b^2-2abcosgamma`
`c=sqrt(a^2+b^2-2abcosgamma)`
`c=sqrt(14^2+16^2-2*14*16*cos76.11°)≈18.56`

A többi sorban is ugyanezeket kell megcsinálnod. Remélem menni fog! Ha mégsem, akkor írj!

`7.`

`a=15` `cm`
`b-c=2` `cm`
`b=c+2` `cm`
`alpha=139°`

`a/(sinalpha)=b/(sinbeta)=c/(singamma)`

És itt el is akadtam. Remélem valaki más rájön, hogy hogyan kell megoldani.

`8.`
`b=14` `cm`
`alpha=63°`
`gamma=80°`
`beta=180°-80°-63°=37°`

`a/(sinalpha)=b/(sinbeta)=c/(singamma)`

`a/(sin63°)=(14)/(sin37°)` `//*sin63°`
`a=(14)/(sin37°)*sin63°≈20.73` `cm`

`(14)/(sin37°)=c/(sin80°)` `//*sin80°`
`c=(14)/(sin37°)*sin80°≈22.91` `cm`

`T=(ab*singamma)/2`
`T=(20.73*14*sin80°)/2≈142.91` `cm^2`

7. `\ a = "15 cm, " b-c = "2 cm, " alpha = 139°`

Először is fel tudjuk írni az ismert szög segítségével a koszinusztételt:
`a^2 = b^2+c^2-2bc cos alpha`

Mivel `b = c+2`, ezért behelyettesítés után csak egy ismeretlenünk lesz!
`a^2 = (c+2)^2+c^2-2(c+2)c cos alpha`
`225 = c^2+4c+4+c^2-2c^2 cos alpha-4c cos alpha " /"-225`
`2(1-cos alpha)c^2+4(1-cos alpha)c-221 = 0`
`c_1 ~~ "6,998 cm" ``", "`` c_2 ~~ cancel(-"8.998")`

`b = c+2 ~~ "8,998 cm"`

A szögek pedig már egyszerűen megkaphatóak egy szinusztétel segítségével. Ha `beta, gamma` rendre a `b, c` oldallal szemközti szögek, akkor
`sin gamma/sin alpha = c/a => gamma = sin^"-1"((c sin alpha)/a) ~~ "17.824°"`

`beta = 180-alpha-gamma = 41-gamma ~~ "23,176°"`

Logaritmusos:

1,

`x gt 0`

`2*lgx=lg16+lg4`

`lg(x^2)` = `lg(16*4)`

`x^2=64`

`x_1` = -8 a kezdeti feltételnek nem felel meg.

x = 8

2,

`lg(x-3)+lg(x-2)=1-lg5`

Felt: `x gt 3`

`lg((x-3)(x-2))=lg(10/5)`

`(x-3)(x-2)=2`

`x^2-5x+6=2`

`x^2-5x+4=0`

`(x-1)(x-4)=0`

`x_1=1` a kezdeti feltételnek nem felel meg.

x = 4

3,

`lg(x-9)+lg(2x-1)=2`

Felt: `x gt 9`

`lg((x-9)(2x-1)=lg100`

`(x-9)(2x-1)=100`

`2x^2-19x+9=100`

`2x^2-19x-91=0`

`x_(1,2)=(19 pm root()(19^2+4*2*91))/(2*2)` = `(19 pm root()(1089))/4` = `(19 pm 33)/4`

`x_1=(19-33)/4` = -3,5 a kezdeti feltétel miatt nem jó

`x=(19+33)/4` = 13

4,

`lg(x+15)^2-lg(3x+5)=lg20`

Felt: `x gt -5/3`

`lg((x+15)^2/(3x+5))=lg20`

`(x+15)^2/(3x+5)=20`

`x^2+30x+225=60x+100`

`x^2-30x+125=0`

`(x-5)(x-25)`=0

`x_1=5`

`x_2=25`

5,

`2*lg(x+15)-lg(3x+5)=lg20`

`(x+15)^2/(3x+5)=20` Ugyanaz, mint az előző

6,

`log_3 log_4 log_2 X=1`

`log_4 log_2 X = 3`

`log_2 X = 4^3 = 64`

`X = 2^(64)`

Egyenlőtlenségek:

`log_5 x lt 1`

`0 x lt 5`


`log_(1/3) (7-x) ge 0`

Felt: `x lt 7`

`(1/3)^0 ge 7-x`

`-6 ge -x`

`6 le x`

Megoldás: `6 le x lt 7`


`log_(4/3) (5x) le log_(4/3) (x-8)`

Felt: `x gt 8`

`5x le x-8`

`4x le -8`

`x le -2`

A kezdeti feltételeknek nem felel meg, nincs megoldása az egyenlőtlenségnek.

`2*log_(2/5) 3 + log_(2/5) x ge 1`

Felt: `x gt 0`

`log_(2/5) (3^2*x) ge log_(2/5) (2/5)`

A monotonitás miatt megfordul a relációs jel.

`9x le 2/5`

`x le 2/45`

Megoldás: `0 lt x le 2/45`


Egyenletrendszerek:

a,

I. `5*log_2 x-3*log_3y=9`

II. `2*log_2 x + 3*log_3 y = 8`

Felt: `x, y gt 0`

I.+II.:

`7*log_2 x = 17`

`log_2 x= 17/7`

`x=2^(17/7)` = `2^2*2^(3/7)`

I. `5*log_2 (2^(17/7)-3*log_3 y = 9`

`5*17/7-3*log_3 y = 9`

`3*log_3 y = 22/7`

`log_3 y = 22/21`

`y=3^(22/21)` = `3*3^(1/21)`

b,

I. `lg(x+1)+lg(y-3)=1`

II. `lg(y-1)-lgx = 0`

Felt: `x gt 0` ; `y gt 3`

I. `lg(x+1)(y-3)=lg10`

II. `lg((y-1)/x) = lg 1`

I. `(x+1)*(y-3)=10`

II. `(y-1)/x=1`

II. `x=y-1`

Másodikat az elsőbe:

`y(y-3)=10`

`y^2-3y-10=0`

`(y-5)(y+2)=0`

`y_1=-2` a kezdeti feltétel miatt nem jó

`y_2=5` a megoldás.

`x=y-1=4`

A megoldás a (4;5) számpár.

4/9

Közös kitevőre hozás:

28,

`2^(x+3)-2^(x-2)+2^(x+1)=39`

`8*2^x-1/4*2^x+2*2^x=39`

`(8-1/4+2)*2^x=39`

`39/4*2^x=39`

`2^x=4`

`x=2`

29,

`2*3^(x+2)-42*3^(x-1)=12`

`2*9*3^x-42/3*3^x=12`

`(18-14)*3^x=12`

`4*3^x=12`

`3^x=3`

x = 1

30,

`3*2^(x+1)-7*2^(x-2)=17`

`3*2*2^x-7*1/4*2^x=17`

`(6-7/4)*2^x=17`

`17/4*2^x=17`

`2^x=4`

`x=2`

31,

`25*5^(x+1)+4*5^x+5^(x-1)=646`

`125*5^x+4*5^x+1/5*5^x=646`

`(125+4+1/5)*5^x=646`

`646/5*5^x=646`

`5^x=5`

x = 1

32,

`2*3^(x+1)-6*3^(x-1)-3^x=9`

`2*3*3^x-6/3*3^x-1*3^x=9`

`(6-2-1)*3^x=9`

`3*3^x=9`

`3^x=3`

x=1

33,

`2^(x+2)-2^(x+1)=12+2^(x-1)`

`4*2^x-2*2^x-1/2*2^x=12`

`(4-2-1/2)*2^x=12`

`3/2*2^x=12`

`2^x=8`

`x=3`

34,

`4*3^(x+1)-72=3^(x+2)+3^(x+1)`

`4*3*3^x-9*3^x-3*3^x=72`

`(12-9-3)*3^x=72`

`0*3^x=72`

Nincs megoldás.

35.

`3^(x+2)-3^(x-3)+3^(x-1)=2259`

`9*3^x-1/27*3^x+1/3*3^x=2259`

`(9-1/27+1/3)*3^x=2259`

`251/27*3^x=2259`

`3^x=243`

`x=5`

36,

`2^(x-2)+8^(x/3-1)+4^(1/2 x-1)=10`

`1/4*2^x+1/8*2^x+1/4*2^x=10`

`(1/4+1/8+1/4)*2^x=10`

`5/8*2^x=10`

`2^x=16`

`x=4`

37,

`7^(x+2)-1/7*7^(x+1)-14*7^(x-1)+2*7^x=48`

`(49-1-2+2)*7^x=48`

`48*7^x=48`

`7^x=1`

`x=0`

38,

`3^x+3^(x+1)+3^(x+2)+3^(x+3)=40/3`

`(1+3+9+27)*3^x=40/3`

`40*3^x=40/3`

`3^x=1/3`

`x=-1`

39,

`3*3^(x+3)-3^(x+2)+3*3^x=25`

`(81-9+3)*3^x=25`

`75*3^x=25`

`3^x=1/3`

`x=-1`

40,

`7^(x+1)-6*7^x-5*7^(x-1)=14`

`(7-6-5/7)*7^x=14`

`2/7*7^x=14`

`7^x=49`

`x=2`

41,

`3^(x-2)+6*3^(x-1)+5*3^x-2*3^(x+1)=30`

`(1/9+2+5-6)*3^x=30`

`10/9*3^x=30`

`3^x=27`

`x=3`

42,

`3^(x-2)+4*3^(x-1)+5*3^x-2*3^(x+1)=4`

`(1/9+4/3+5-2*3)*3^x=4`

`4/9*3^x=4`

`3^x=9`

`x=2`

Másodfokúra vezethetők:

51,

`9^x-6*3^x=27`

`9^x=a` helyettesítéssel

`a^2-6a-27=0`

`(a-9)(a+3)=0`

`a_1=-3` nem lehet

`a_2=9` = `3^x`

x = 2

52,

`10*2^x-4^x=16`

`2^x=a`

`a^2-10a+16=0`

`(a-8)(a-2)=0`

`a_1=8=2^x` `rightarrow` `x_1=3`

`a_2=2=2^x` `rightarrow` `x_2=1`

53,

`4^(x+1/2)+64*2^(x-1)=4`

`2^x=a`

`2a^2+31/2*a-4=0`

`a_(1,2)=(-31/2 pm root()((31/2)^2-4*4*2))/(2*2)`

`a_1` = negatív

`a_2=1/4` = `2^x`

x = -2

54,

`9^(x+1/2)+26*3^(x-1)=1`

`3^x=a`

`3a^2+26/3*a-1=0`

`a_(1,2)=(-26/3 pm root()((26/3)^2+4*3*1))/(2*3)`

`a_1` negatív

`a_2` = `1/9` = `3^x`

x = -1

55,

`9^(x-1)-3^(x+1)+3^(x-3)=1`

`1/9*a^2+(1/27-3)*a-1=0`

Megoldod a másodfokút, mint a többit, az egyik gyök negatív, a másik

`a=1/3=3^x`

`x=-1`

56,

`3^(4-x)+3^(x-1)=12`

`3^x=a`

`81/a+1/3*a=12` (szorzunk a-val, az nem lehet nulla az exponenciális függvény miatt)

`1/3*a^2-12a+81=0`

`a^2-36a+243=0`

`(a-9)(a-27)=0`

`a_1=9=3^x` `rightarrow` `x_1=2`

`a_2=27=3^x` `rightarrow` `x_2=3`

57,

`5*25^x-2*5^(x+1)=75`

`5a^2-10a-75=0`

`a^2-2a-15=0`

`(a-5)(a+3)=0`

`a_1=-3` nem lehet

`a_2=5=5^x` `rightarrow` `x=1`

58,

`33*2^(x-1)-4^(x+1)=2`

`-33/2*a+4a^2+2=0`

`4a^2-33/2*a+2=0`

megoldóképlet

`a_1=4=2^x` `rightarrow` `x=2`

`a_2=1/8=2^x` `rightarrow` `x=-3`

59,

`3^(5-x)+3^x=36`

`3^5/a+a=36`

`a^2-36a+243=0`

`a_1=27=3^x` `rightarrow` `x_1=3`

`a_2=9=3^x` `rightarrow` `x_2=2`

60,

`4*4^x+31*2^x=8`

`4a^2+31a-8=0`

`a^2+31/4*a-2=0`

`a_1=-8` nem lehet

`a_2` = `1/4` =`2^x` `rightarrow` `x=-2`