Kordinátai geometria

Reméljük nem volt sürgős a feladat péntek este

1,

`x^2-4y=0`

`y=1/4*x^2`

Az `y=1/(2p)*x^2` egyenletű parabola fókuszpontja `F(0;p/2)`.

2p = 4

`p/2=1`, a fókuszpont tehát F(0;1).

b,

P(0;-1) és F(0;1)

Az egyenes egyenletéből:

y = x-5 `rightarrow` b = a-5 a középpontra vonatkozóan.

A kör egyenlete:

`(x-a)^2+(y-(a-5))^2=r^2`

Ebbe behelyettesítjük a két pontot:

I. `(0-a)^2+(-1-(a-5))^2=r^2`

II. `(0-a)^2+(1-(a-5))^2=r^2`

I. - II.:

`(4-a)^2-(6+a)^2=0`

`4a=20`

a = 5

b = a-5 = 0

A sugarat pedig úgy kapod meg, hogy visszahelyettesíted bármelyik egyenletbe.

`(0-5)^2+(-1-0)^2=26=r^2`

A kör egyenlete:

`(x-5)^2+y^2=26`

c,

Az egyenes meredeksége, amit keresünk:

m = 1

I.y=x+b

II. `(x-5)^2+(x+b)^2=26`

`x^2-10x+25+x^2+2bx+b^2-26=0`

`2x^2+(2b-10)*x+b^2-1=0`

Az érintés feltétele, hogy a diszkrimináns nulla:

`D=(2b-10)^2-4*2*(b^2-1)=0`

`4b^2-40b+100-8b^2+8=0`

`4b^2+40b-108=0`

`b^2+10b-27=0`

`b_(1,2)` = `(-10 pm root()(10^2+4*27))/2`

`b_1` = `root()(52)-5`

`b_2` = `-root()(52)-5`

A keresett egyenesek:

`y=x+root()(52)-5` és `y=-root()(52)-5`.


3,

a, Ha `m_(AB) ne m_(AC)`, akkor nem illeszkednek egy egyenesre.

`m_(AB)` = `(y_B-y_A)/(x_B-x_A)` = `(-7.5-(-12.5))/(10-0)` = `5/10` = `1/2` = 0,5

`m_(BC)` = `(y_C-y_B)/(x_C-x_B)` = `(14-(-7.5))/(48-10)` = `21.5/38` `approx`0,565

A két meredekség nem egyezik, a három pont nem esik egy egyenesre.

b,

A D pont rajta van az AB szakasz oldalfelező merőlegesén.

Először megkeressük az oldalfelező merőleges egyenletét.

`m_(AB)` = `1/2` ; tehát az oldalfelező meredeksége `m_F=-1/m_(AB)` = `-1/(1/2)` = -2

Az AB szakasz oldalfelező pontja:

`x_F` = `(x_A+x_B)/2` = `(0+10)/2` = 5

`y_F` = `(y_A+y_B)/2` = `(-12.5+(-7.5))/2` = -10

F(5;-10)

`y_F=m_F*x_F+b`

`-10=-2*5+b`

b = 0

A keresett egyenlet: y=-2x

Az 1000 méter távolság megfelel `1000/20=50` egységnek.

C(48;14)

Van egy körünk, aminek az egyenlete:

`(x-48)^2+(y-14)^2=50^2`

és egy egyenesünk, aminek az egyenlete: y = -2x

Keressük a közös pontjait.

`(x-48)^2+(-2x-14)^2=50^2`

`x^2-96x+2304+4x^2+56x+196=2500`

`5x^2-40x=0`

`5x*(x-8)=0`

`x_1=0` `rightarrow` `y_1` = 0

`x_2=8` `rightarrow` `y_2=-16`

A két lehetséges D pont:

`D_1(0;0)` és `D_2(8;-16)`

`d_(AD_1)` = `root()((x_D_1-x_A)^2+(y_(D_1)-y_A)^2)` = `root()((0-0)^2+(-12.5-0)^2)` = 12,5 ; ez megfelel `12.5*20` = 250 méter

`d_(AD_2)` = `root()((x_D_2-x_A)^2+(y_(D_2)-y_A)^2)` = `root()((0-8)^2+(-12.5+16)^2)` = `root()(64+12.25)` `approx` 8,73 ; ez pedig `8.73*20` = 174,6 méter

Na kazah, most visszakapod a hergelőt!!!!

Tudjuk, hogy a körön rajta van `F(0; 1)` és `P(0; -1)`, illetve, hogy a középpontja rajta van az `g:\ x-y=5` egyenesen.

Mivel az `F` és a `P` is rajta van a körön, ezért azonos távolságra vannak a kör középpontjától, mivel a kör minden pontja azonos távolságra van a középponttól. Viszont azt is tudjuk, hogy két ponttól azonos távolságra lévő pontok egy egyenest alkotnak. Mivel a két pont `x` koordinátája megegyezik és az `y` koordinátájuknak csak az előjele más, ezért mindkét pont azonos távolságra van az `x` tengelytől, így ez lesz az az egyenes, ami azonos távolságra van a két ponttól, tehát rajta van a középpont! Ezt az egyenest a következő egyenlet írja le:
`"I. " y = 0`

A fenti egyenesen rajta van a középpont, illetve a `g` egyenesen is rajta van, így a kettő metszéspontja adja a középpont koordinátáját:
`"II. " x-y=5 => x=5`

Tehát a kör középpontja `K(5; 0)`

A sugár pedig egész egyszerűen úgy adódik, hogy vesszük az `F` vagy a `P` távolságát a középponttól:
`r = sqrt(5^2+1) = sqrt 26`

Tehát a keresett kör egyenlete:
`(x-5)^2+y^2 = 26`

Elég szemét feladat, mert ki kell találni hozzá a megoldás menetét, de a pontok direkt úgy voltak megadva, hogy ha ezt észreveszik, akkor egyszerű legyen. Persze ezt sehol sem tanítják, úgyhogy ultra szemét a feladat.