`px^2 + (p-11)x + 3 = 0`

Alapból `ax^2+bx+c=0` alakú másodfokúra a gyökök
`x_(1,2) = (-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)`

Jelen esetben `a = p ", " b = p-11` és `c = 3`.

a)
A gyökök összege:
`x_1+x_2 = (-b cancel(+sqrt(b^2-4ac)))/(2a)+(-b cancel(-sqrt(b^2-4ac)))/(2a) = (-2b)/(2a) = -b/a`

Vagyis
`-(p-11)/p = -4 " /"*(-p)`
`p-11 = 4p " /"-p`
`3p = -11 " /":3`
`p = -11/3`

b)
`x_1^2+x_2^2 = ((-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a))^2+((-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a))^2 ``=`` ((-b+sqrt(b^2-4ac))^2+(-b-sqrt(b^2-4ac))^2)/(4a^2) ``=``((b^2 cancel(-2b sqrt(b^2-4ac))+b^2-4ac)+(b^2 cancel(+2b sqrt(b^2-4ac))+b^2-4ac))/(4a^2) ``=`` (2(b^2+b^2-4ac))/(4a^2) = (b^2-2ac)/a^2`

Tehát `p`-vel és a kívánt értékkel behelyettesítve:
`((p-11)^2-2*p*3)/p^2 = 3 " /"*p^2`
`p^2-22p+121-6p = 3p^2 " /"-p^2+28p-121`
`2p^2+28p-121 = 0`
`p_(1,2) = -7 +- sqrt(219/2)`

c)
Ez elég szemét. Deriváláson kívül nem tudom hogyan lehetne megoldani... Én deriválni fogok.

Először is vizsgáljuk meg, hogy `p`-nek milyen értékei lehetnek, hogy a másodfokúnak legyenek gyökei egyáltalán. Ehhez a diszkriminánsnak nagyobb egyenlőnek kell lennie 0-nál:
`D = b^2-4ac = (p-11)^2-4*p*3 = p^2-22p+121-12p = p^2-34p+121`

Ennek a másodfokú kifejezésnek kell nagyobb, vagy egyenlőnek lennie nullánál. Előbb lássuk ennek a gyökeit:
`p^2-34p+121 = 0`
`p_(1,2) = 17 +- 2 sqrt(42)`

Tehát ahhoz, hogy az eredeti egyenletnek legyenek (valós) gyökei, ahhoz `p` értelmezési tartománya:
`Do_p": " {: ]-oo "; " 17 - 2 sqrt(42) ~~ "4,039"] uu [17 + 2 sqrt(42) ~~ "29,961" "; " +oo[ :}`

Ezek után a `((p-11)^2-6p)/p^2` az a függvény, ami kiadja a másodfokú gyökeinek a négyzetösszegét a `p` függvényében. Ez egy másodfokú törtfüggvény. Ha ennek a függvénynek minimuma van valahol, ott a deriváltja 0, ezért ezt a függvényt le kell deriválni. Először is egyszerűsítsük a függvényt:
`((p-11)^2-6p)/p^2 = (p^2-22p+121-6p)/p^2 = (p^2-28p+121)/p^2`

A deriváltja:
`d/(dp) ((p^2-28p+121)/p^2) = ((2p-28)*p^2-(p^2-28p+121)*2p)/p^4 ``=`` (cancel(2p^3)-28p^2 cancel(-2p^3)+56p^2-242p)/p^4 ``=`` (28p^2-242p)/p^4 ``=`` (cancel p(28p-242))/p^(cancel 4_3) ``=`` (28p-242)/p^3`

Tehát a derivált függvénynek 0-nak kell lennie ahhoz, hogy szélsőértéke (minimum, maximum) legyen:
`(28p-242)/p^3 = 0`

Egy tört akkor nulla, ha a számlálója nulla és a nevezője nem nulla:
`28p-242 = 0 " /"+242`
`28p = 242 " /":28`
`cancel(p = 242/28 = 121/14 ~~ "8,643")`, mivel `p !in Do_p`

Vagyis a négyzetösszeget adó függvény minimum pontjában nem értelmezett `p`. Mivel a minimumponttól távolodva növekednie kell a függvénynek, - hiszen ettől lesz valahol minimum pont -, ezért elképzelhető, hogy az értelmezési tartomány széleinél `17+-2 sqrt 42`-nél is még növekszik a fv, vagyis ezek lehetnek a legkisebb értékek a négyzetösszegre. Ha tüzetesebben megvizsgáljuk a függvényt és a deriváltját, akkor arra jutunk, hogy
`p = 17+2 sqrt 42`-re a legkisebb a négyzetösszeg, ami `6/121 (17-2 sqrt(42)) ~~ "0,200"`

https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+%28p%5E2-28p%2B121%29%2Fp%5E2+from+17-2sqrt42+to+17%2B2sqrt42

Ha az utolsót úgy gondolod, hogy számonkérhetik a suliban akkor remélem jó vagy emelt matekból Igazából az egész feladat elég nehéz. Ha bármi kérdésed van csak szólj!

Nagyon szépen köszönöm a segítséget, mostmár szerintem mindent értek.
Igen valószínűleg deriválni kellett, mert azt már tanultam valamilyen szinten így elvárható illetve emelt szinthez kell. : )