Old meg: kijelentő mód, E/3.
Oldd meg/Oldjad meg: felszólító mód, E/2.

Ez az oldal nem egy óvoda. Mellőzhetnéd az óvodás viselkedést.

`f(x) = sin^2 x-2`

1. Értelmezési tartomány és értékkészlet:
`D_f = RR`
`R_f = RR nn [-2, -1]`, mivel `-1 <= sin x <= 1 ", " 0 <= sin^2 x <= 1`, tehát `-2 <= sin^2 x-2 <= -1`

2. Paritás és periodicitás:
Páros függvény, mivel `f(-x) = f(x)` a második hatvány miatt.
Periódusa: `pi`, ismét a második hatvány miatt, mivel ugyanaz az érték tartozik a negatív és a pozitív értékekhez.

3. Határérték:
`+-oo`-ben nem létezik határérték, mivel mindig -2 és -1 között oszcillál a fv. Mindenhol máshol pedig a fv érték a határérték, mivel az egész értelmezési tartományon folytonosan deriválható a fv.

4. Monotonitás és szélsőértékek:
`f'(x) = 2 sin x cos x`

`2 sin x cos x = 0 " /":2`
`sin x cos x = 0`

`"I."\ sin x = 0 " /" sin^"-1"()`
`x = k pi, forall k in ZZ`

`"II."\ cos x = 0 " /" cos^"-1"()`
`x = pi/2+k pi, forall k in ZZ`

A kettő összevonva:
`x = k*pi/2, forall k in ZZ`

Vagyis:
`{:(, 0+k pi, \(0+k pi; pi/2+k pi\), pi/2+k pi, \(pi/2+k pi; pi+k pi\)), (f'\(x\), "lok. min.", +, "lok. max.", -), (f\(x\), -2, "szig. mon. növ.", -1, "szig. mon. csökk."):}`

5. Konvexitás és inflexiós pontok:
`f''(x) = 2(sin x*(-sin x)+cos x cos x) = 2(cos^2 x-sin^2 x) = 2 cos(2x)`

`2 cos(2x) = 0 " /":2`
`cos(2x) = 0 " /" cos^"-1"()`
`2x = pi/2+k pi, forall k in ZZ " /":2`

`x = pi/4+k*pi/2, forall k in ZZ`

Vagyis:
`{:(, -pi/4+k*pi/2, \(-pi/4+k*pi/2; pi/4+k*pi/2\), pi/4+k*pi/2, \(pi/4+k*pi/2; (3 pi)/4+k*pi/2\)), (f''\(x\), "inf. p.", +, "inf. p.", -), (f\(x\), -"1,5", ◡\ "konvex", -"1,5", ◠\ "konkáv"):}`

6. Ábrázolás:
Csatolt kép

Fúh, hát ez nem volt pite... Jól el lehet ezekkel lenni...