Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Emelt matek feladat
adam kovacs
kérdése
470
Jelölje e azokat az egyeneseket, amelynek egyenlete 2x+y=b, ahol b valós paraméter. Mekkora lehet b értéke, ha tudjuk, hogy van közös pontja az így megadott e egyenesnek és az origó középpontú 4 egység sugarú körnek?
valaki elmagyarázza a feladatott részletesen előre is nagyon köszönöm.
valaki elmagyarázza a feladatott részletesen előre is nagyon köszönöm.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
1
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Epyxoid
{ Tanár }
megoldása
`2x+y = b`
Azaz `y`-ra rendezve:
`y = -2x+b`
Ebből az alakból leolvasható, hogy az egyenes meredeksége `-2`, a `b` pedig azt a pontot adja, ahol az egyenes metszi az `y` tengelyt. Tehát ha `b in RR`, akkor ezekkel az egyenesekkel le lehet fedni az egész síkot, szóval nem tudom mit értenek azalatt, hogy "jelölje be".
Az origó középpontú 4 egység sugarú kör egyenlete a következő:
`x^2+y^2 = 4^2`
Ezek mind benne vannak a függvénytáblázatban. Nem tudom, hogy ezek mennyire szorulnak magyarázatra. Mindenesetre nyugodtan szólj ha nem értesz valamit.
Ezek után, akkor lesz közös pontja az egyenesnek és a körnek, hogyha adott `(x, y)` értékpár (a koordináta rendszer egy pontja) kielégíti a kör és az egyenes egyenletét is, vagyis olyan értékpárokra, amiket behelyettesítve igazak lesznek az egyenlőségek. Tehát egy egyenletrendszerként kell összekapcsolni a kettőt, mert olyan `x`-eket és `y`-okat keresünk, amikre egyszerre teljesül mindkét egyenlet, vagyis mindkét egyenletnek a "megoldásai".
`{(y = -2x+b), (x^2+y^2 = 16):}`
Ha az első egyenletet behelyettesítjük a másodikba, akkor kapunk egy másodfokú paraméteres egyenletet, amiben `b` egy szabadon választható paraméter:
`x^2+(-2x+b)^2 = 16`
`x^2+4x^2-4xb+b^2 = 16 " /"-16`
`5x^2+(-4b)x+(b^2-16) = 0`
Tehát a másodfokú együtthatói függnek `b` értékétől. A négyzetes tag együtthatója `5`, a lineárisé `-4b`, a konstansé pedig `b^2-16`. Ha erre felírjuk a megoldóképletet, akkor a gyök alatti kifejezés, vagyis a diszkrimináns dönti el, hogy két különböző gyöke lesz (két helyen metszi az egyenes a kört), vagy pedig egy darab kétszeres gyöke lesz (az egyenes csak érinti a kört, vagyis csak egy helyen metszi azt). Vagyis a diszkrimináns értéke kell nekünk, mert az adja majd a legkisebb, illetve a legnagyobb `b` értéket, azokat az értékeket, amikor csak érinti az egyenes a kört, mert a kettő között áthalad az egyenes a körön, ezeken kívül pedig nem halad át rajta. Tehát ha a másodfokú `ax^2+bx+c = 0` alakú (itt a b nem ugyanaz, mint a feladat `b` paramétere), akkor a diszkrimináns:
`D = b^2-4ac = (-4b)^2-4*5*(b^2-16) = 16b^2-20b^2+20*16 = -4b^2+320`
Ha a fenti diszkrimináns értéke 0, akkor kapjuk meg az érintési pontokat, vagyis `b` "szélsőértékeit".
`-4b^2+320 = 0 " /"+4b^2`
`4b^2 = 320 " /":4`
`b^2 = 80 " /" sqrt`
`b_(1,2) = +- sqrt 80`
Vagyis `-sqrt 80 <= b <= sqrt 80` ahhoz, hogy legyen közös pontja az egyenesnek a körrel.
Csináltam hozzá egy interaktív ábrát. Bal oldalt a csúszkával állíthatod `b` értékét és ez alapján láthatod, hogy mely egyenesek állnak így elő a különböző `b` értékekkel:
https://www.geogebra.org/calculator/vwscwupd
Azaz `y`-ra rendezve:
`y = -2x+b`
Ebből az alakból leolvasható, hogy az egyenes meredeksége `-2`, a `b` pedig azt a pontot adja, ahol az egyenes metszi az `y` tengelyt. Tehát ha `b in RR`, akkor ezekkel az egyenesekkel le lehet fedni az egész síkot, szóval nem tudom mit értenek azalatt, hogy "jelölje be".
Az origó középpontú 4 egység sugarú kör egyenlete a következő:
`x^2+y^2 = 4^2`
Ezek mind benne vannak a függvénytáblázatban. Nem tudom, hogy ezek mennyire szorulnak magyarázatra. Mindenesetre nyugodtan szólj ha nem értesz valamit.
Ezek után, akkor lesz közös pontja az egyenesnek és a körnek, hogyha adott `(x, y)` értékpár (a koordináta rendszer egy pontja) kielégíti a kör és az egyenes egyenletét is, vagyis olyan értékpárokra, amiket behelyettesítve igazak lesznek az egyenlőségek. Tehát egy egyenletrendszerként kell összekapcsolni a kettőt, mert olyan `x`-eket és `y`-okat keresünk, amikre egyszerre teljesül mindkét egyenlet, vagyis mindkét egyenletnek a "megoldásai".
`{(y = -2x+b), (x^2+y^2 = 16):}`
Ha az első egyenletet behelyettesítjük a másodikba, akkor kapunk egy másodfokú paraméteres egyenletet, amiben `b` egy szabadon választható paraméter:
`x^2+(-2x+b)^2 = 16`
`x^2+4x^2-4xb+b^2 = 16 " /"-16`
`5x^2+(-4b)x+(b^2-16) = 0`
Tehát a másodfokú együtthatói függnek `b` értékétől. A négyzetes tag együtthatója `5`, a lineárisé `-4b`, a konstansé pedig `b^2-16`. Ha erre felírjuk a megoldóképletet, akkor a gyök alatti kifejezés, vagyis a diszkrimináns dönti el, hogy két különböző gyöke lesz (két helyen metszi az egyenes a kört), vagy pedig egy darab kétszeres gyöke lesz (az egyenes csak érinti a kört, vagyis csak egy helyen metszi azt). Vagyis a diszkrimináns értéke kell nekünk, mert az adja majd a legkisebb, illetve a legnagyobb `b` értéket, azokat az értékeket, amikor csak érinti az egyenes a kört, mert a kettő között áthalad az egyenes a körön, ezeken kívül pedig nem halad át rajta. Tehát ha a másodfokú `ax^2+bx+c = 0` alakú (itt a b nem ugyanaz, mint a feladat `b` paramétere), akkor a diszkrimináns:
`D = b^2-4ac = (-4b)^2-4*5*(b^2-16) = 16b^2-20b^2+20*16 = -4b^2+320`
Ha a fenti diszkrimináns értéke 0, akkor kapjuk meg az érintési pontokat, vagyis `b` "szélsőértékeit".
`-4b^2+320 = 0 " /"+4b^2`
`4b^2 = 320 " /":4`
`b^2 = 80 " /" sqrt`
`b_(1,2) = +- sqrt 80`
Vagyis `-sqrt 80 <= b <= sqrt 80` ahhoz, hogy legyen közös pontja az egyenesnek a körrel.
Csináltam hozzá egy interaktív ábrát. Bal oldalt a csúszkával állíthatod `b` értékét és ez alapján láthatod, hogy mely egyenesek állnak így elő a különböző `b` értékekkel:
https://www.geogebra.org/calculator/vwscwupd
Módosítva: 3 éve
3
- Még nem érkezett komment!