Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Emelt matek feladat

85
Jelölje e azokat az egyeneseket, amelynek egyenlete 2x+y=b, ahol b valós paraméter. Mekkora lehet b értéke, ha tudjuk, hogy van közös pontja az így megadott e egyenesnek és az origó középpontú 4 egység sugarú körnek?
valaki elmagyarázza a feladatott részletesen előre is nagyon köszönöm.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
1
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
`2x+y = b`

Azaz `y`-ra rendezve:
`y = -2x+b`

Ebből az alakból leolvasható, hogy az egyenes meredeksége `-2`, a `b` pedig azt a pontot adja, ahol az egyenes metszi az `y` tengelyt. Tehát ha `b in RR`, akkor ezekkel az egyenesekkel le lehet fedni az egész síkot, szóval nem tudom mit értenek azalatt, hogy "jelölje be".

Az origó középpontú 4 egység sugarú kör egyenlete a következő:
`x^2+y^2 = 4^2`

Ezek mind benne vannak a függvénytáblázatban. Nem tudom, hogy ezek mennyire szorulnak magyarázatra. Mindenesetre nyugodtan szólj ha nem értesz valamit.

Ezek után, akkor lesz közös pontja az egyenesnek és a körnek, hogyha adott `(x, y)` értékpár (a koordináta rendszer egy pontja) kielégíti a kör és az egyenes egyenletét is, vagyis olyan értékpárokra, amiket behelyettesítve igazak lesznek az egyenlőségek. Tehát egy egyenletrendszerként kell összekapcsolni a kettőt, mert olyan `x`-eket és `y`-okat keresünk, amikre egyszerre teljesül mindkét egyenlet, vagyis mindkét egyenletnek a "megoldásai".
`{(y = -2x+b), (x^2+y^2 = 16):}`

Ha az első egyenletet behelyettesítjük a másodikba, akkor kapunk egy másodfokú paraméteres egyenletet, amiben `b` egy szabadon választható paraméter:
`x^2+(-2x+b)^2 = 16`
`x^2+4x^2-4xb+b^2 = 16 " /"-16`
`5x^2+(-4b)x+(b^2-16) = 0`

Tehát a másodfokú együtthatói függnek `b` értékétől. A négyzetes tag együtthatója `5`, a lineárisé `-4b`, a konstansé pedig `b^2-16`. Ha erre felírjuk a megoldóképletet, akkor a gyök alatti kifejezés, vagyis a diszkrimináns dönti el, hogy két különböző gyöke lesz (két helyen metszi az egyenes a kört), vagy pedig egy darab kétszeres gyöke lesz (az egyenes csak érinti a kört, vagyis csak egy helyen metszi azt). Vagyis a diszkrimináns értéke kell nekünk, mert az adja majd a legkisebb, illetve a legnagyobb `b` értéket, azokat az értékeket, amikor csak érinti az egyenes a kört, mert a kettő között áthalad az egyenes a körön, ezeken kívül pedig nem halad át rajta. Tehát ha a másodfokú `ax^2+bx+c = 0` alakú (itt a b nem ugyanaz, mint a feladat `b` paramétere), akkor a diszkrimináns:
`D = b^2-4ac = (-4b)^2-4*5*(b^2-16) = 16b^2-20b^2+20*16 = -4b^2+320`

Ha a fenti diszkrimináns értéke 0, akkor kapjuk meg az érintési pontokat, vagyis `b` "szélsőértékeit".
`-4b^2+320 = 0 " /"+4b^2`
`4b^2 = 320 " /":4`
`b^2 = 80 " /" sqrt`
`b_(1,2) = +- sqrt 80`

Vagyis `-sqrt 80 <= b <= sqrt 80` ahhoz, hogy legyen közös pontja az egyenesnek a körrel.

Csináltam hozzá egy interaktív ábrát. Bal oldalt a csúszkával állíthatod `b` értékét és ez alapján láthatod, hogy mely egyenesek állnak így elő a különböző `b` értékekkel:
https://www.geogebra.org/calculator/vwscwupd
Módosítva: 1 hónapja
3