Igazándiból ez a feladat nem a számolásról szól... Ha csak nem tanultatok már deriválást, ugyanis a szélsőértékeket és a monotonitást azt a függvény első deriváltjából tudjuk megkapni. Jelen esetben ez a feladat inkább szól a szögfüggvények ismeretéről és a függvénytranszformációról.

1) `sin x+1`
A szinusz függvény értéke 90°-nál 1, 270°-nál pedig -1. Ezek a szélsőértékei. Csakhogy a szinusz függvény periodikus, méghozzá 360° a periódusa, vagyis 90°+360°-nál is 1 a függvény értéke és így tovább. A `sin(x)+1` esetében ez nem változik, ugyanis ez a függvény az eredeti függőlegesen eltoltja 1 egységgel, vagyis a szélsőértékei és a monotonitása is változatlan marad az eredeti szinusz függvényéhez képest. Tehát

Szélsőértékek:
- lokális maximumok: `90°+k*360°, forall k in ZZ` (vagy radiánban: `pi/2+k*2pi, forall k in ZZ`)

- lokális maximumok értéke: `1+1 = 2`

- lokális minimumok: `270°+k*360°, forall k in ZZ` (vagy radiánban: `(3 pi)/2+k*2pi, forall k in ZZ`)

- lokális minimumok értéke: `-1+1 = 0`

Illetve a függvény ezen pontok között nő, vagy csökken. 1-től -1-ig csökken, majd vissza -1-től 1-ig nő. Ez az első periódusban úgy néz ki, hogy 0°-tól 90°-ig nő a fv értéke, majd 90°-től 270°-ig csökken, majd 270°-től ismét nő 360°-ig. Ez három intervallum, de meglehet adni kettővel is, ha az egyiket kicsit eltoljuk, ugyanis 270°-től 360°-ig az ugyanaz, mint -90°-től 0°-ig ha eltoljuk az egészet egy periódussal balra.

Monotonitás:
- (szigorúan) monoton növő: `[-90°+k*360° ", " 90°+k*360°], forall k in ZZ`
(radiánban: `[-pi/2+k*2 pi ", " pi/2+k*2pi], forall k in ZZ`)

- (szigorúan) monoton csökkenő: `[90°+k*360° ", " 270°+k*360°], forall k in ZZ`
(radiánban: `[pi/2+k*2 pi ", " (3 pi)/2+k*2pi], forall k in ZZ`)

2) `-cos(x+pi/6)-1`
Itt már kicsit más a helyzet, de nem sokkal. Ez is el van tolva 1-gyel, csak ez mínusz 1-gyel, de ez nem módosítja a szélsőérték helyeket, se a monotonitást a sima koszinusz függvényhez képest. Viszont a többi igen! Alapból a koszinusz 0°-ban 1, és 180°-ban -1. (Ezek a szélsőértékeink alapból.) De mivel ez a függvény a koszinusz mínusza vagyis `-cos(...)`, ezért az egész függvény megfordul úgy, hogy a minimumokból maximumok lesznek és a maximumokból lesznek a minimumok! Valamint az `x+pi/6` azt csinálja, hogy eltolja a függvényt vízszintesen balra `pi/6`-tal, vagyis `180/6 = 30°`-kal!

Vagyis összegezzük. Alapból 0°-ban lenne 1 a koszinusz, de ez a függvény -1-1=-2 lesz (mivel el van tolva az egész lefele 1-gyel) és nem nullában, hanem -30 foknál! (Ez a balra tolódás következménye.) Illetve eredetileg 180°-nál lenne a koszinusz -1, de itt 1-1=0 lesz (mert -1 mínusza lesz az érték mínusz 1 az eltolás miatt) és nem 180°-nál hanem 180°-30°=120°-nál! Illetve ennek a függvénynek is 360° a periódusa, vagyis ugyanez ismétlődik 360°-onként. Tehát

Szélsőértékek:
- lokális minimumok: `-30°+k*360°, forall k in ZZ` (vagy radiánban: `-pi/6+k*2pi, forall k in ZZ`)

- lokális minimumok értéke: `-(1)-1 = -2`

- lokális maximumok: `120°+k*360°, forall k in ZZ` (vagy radiánban: `(5 pi)/6+k*2pi, forall k in ZZ`)

- lokális maximumok értéke: `-("-1")-1 = 0`

Monotonitás:
- (szigorúan) monoton növő: `[-30°+k*360° ", " 120°+k*360°], forall k in ZZ`
(radiánban: `[-pi/6+k*2 pi ", " (5 pi)/6+k*2pi], forall k in ZZ`)

- (szigorúan) monoton csökkenő: `[120°+k*360° ", " 330°+k*360°], forall k in ZZ`
(radiánban: `[(5 pi)/6+k*2 pi ", " (11 pi)/6+k*2pi], forall k in ZZ`)

köszönöm szépen a segítséget!

Valahogy így néz ki a két függvény, illetve szaggatottal pár segédfüggvény, amikkel talán könnyebb megérteni hogyan is és mik által tolódik el a függvény az eredeti szögfüggvényekből.