a)
Mivel `AM` és `BC` merőlegesek egymásra, illetve `abs(AD) = abs(DM)`, illetve egyik oldaluk, a `BD` közös és a `D` csúcsnál lévő szögük azonosan derékszög, ezért az `ABD` és az `MBD` háromszögek egybevágóak, vagyis minden szögük és minden oldaluk egyenlő, tehát `AB` és `BM` is!

b)
Az első hiba, hogy `AE` hosszát 8-nak vetted. Nekem így első ránézésre nem egyértelmű, hogy az `E` pont az a `BC` oldalfelezője. De még ha az is (egyébként tényleg az, igazad volt), akkor sem értem, hogy honnan tudjuk, hogy a `BC` hossza mennyi. Induljunk ki abból, amit biztosan tudunk, az pedig a magasság, ami 4 centi. Illetve a szögeket még ügyesen berajzoltad, addig minden tökéletes. Tehát az `ABE` és a `BEM` az két egybevágó egyenlő oldalú háromszög, amiknek a magassága 4. Már ebből is látni, hogy ezeknek az oldala nem 8 lesz, mert az egyenlő oldalú háromszögeknek a magassága az nem az oldalak fele, hanem a `sqrt(3)/2`-ede! De ezt még csak nem is kell tudni. Felírhatjuk mondjuk az `ABD` háromszögben a `hat B` szög szinuszát:
`sin hat B = abs(AD)/abs(AB) => abs(AB) = abs(AD)/sin hat B = 4/(sin 60°) = 8/sqrt 3 ~~ "4,619 cm"`

A másik `AC` oldal hasonló módon kiszámítható. Az `ACD` háromszögben `hat C` szinusza:
`sin hat C = abs(AD)/abs(AC) => abs(AC) = abs(AD)/sin hat C = 4/(sin 30°) = "8 cm"`

Tehát az a különleges helyzet adódott, hogy `abs(AM) = abs(MC) = abs(AC) = "8 cm"`, vagyis az `AMC` egy egyenlő oldalú háromszög! Tehát
`K_(AMC) = 3*8 = "24 cm"`

c)
Mivel `hat A` derékszög és mint megmutattad `ABE` egy egyenlő oldalú háromszög, mivel mindegyik belső szöge egyenlő, így a `hat(CAE)` szög `90°-60° = 30°`, tehát az `ACE` háromszög `A` és `C` csúcsánál lévő szög egyenlő, így a velük szemközti oldalak is egyenlőek, vagyis `abs(AE) = abs(EC)`!

Mivel beláttuk korábban, hogy az `AMC` egy egyenlő oldalú háromszög, illetve hogy a `hat(CAE) = 30°`, ezért az `AE` az a `hat(CAM)` szögfelezője, tehát az egyenlő oldalú háromszög esetében ez egyben ráfekszik a szemközti `CM` oldal oldalfelezőjére, ami egyben a háromszög magassága is, ami merőleges az `MC` oldalra!