Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
L'Hospital
kapesmate
kérdése
531
Hogy kell kiszámolni lim x tart végtelen (((1-1/x)^x)-1/e)*x
Tudom, hogy L'Hospital szabállyal, de mégis hogy!?
Tudom, hogy L'Hospital szabállyal, de mégis hogy!?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
l'hospital, deriválás, határérték, é, lim, osztás, polinom, végtelen, differenciál, hányados
l'hospital, deriválás, határérték, é, lim, osztás, polinom, végtelen, differenciál, hányados
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
Ezt írtad, ha jól értettem:
`lim_(x→∞) ((1-1/x)^x-1/e)*x`
Jó szívatós feladat...
`(1-1/x)^x` határértéke `1/e`, ezért ez 0·∞ jellegű szorzat. Alakítsuk át 0/0-ra::
`lim_(x→∞) ((1-1/x)^x-1/e)/(1/x)`
Most már lehet L'Hospitálni:
A nevező deriváltja `-1/x^2`
A számláló deriváltja bonyolultabb. Az `1/e` persze kiesik, de az exponenciális fv-hez trükk kell:
`d/(dx) (1-1/x)^x = d/(dx) e^(ln (1-1/x)^x) = d/(dx) e^(x·ln (1-1/x))`
Ezt meg már sokszorosan összetett függvényként lehet deriválni:
`=e^(x·ln (1-1/x)) · d/(dx)(x·ln (1-1/x))`
`=e^(x·ln (1-1/x)) · (1·ln (1-1/x) + x·d/(dx)ln (1-1/x))`
`=e^(x·ln (1-1/x)) · (ln (1-1/x) + x·1/(1-1/x)·d/(dx)(1-1/x))`
`=e^(x·ln (1-1/x)) · (ln (1-1/x) + x·1/(1-1/x)·1/x^2)`
`=e^(x·ln (1-1/x)) · (ln (1-1/x) + 1/(x-1))`
Kész is van. Kicsit szebb, ha a kezdő exponenciálisat visszaalakítjuk:
`=(1-1/x)^x · (ln (1-1/x) + 1/(x-1))`
A L'Hospital teljes törtje ez:
`lim_(x→∞) (1-1/x)^x · (ln (1-1/x) + 1/(x-1))/(-1/x^2)`
Az első exponenciális rész határértéke `1/e`, a második tört viszont még mindig `0/0` alakú:
`= -1/e · lim_(x→∞) (ln (1-1/x) + 1/(x-1))/(1/x^2)`
Azt L'Hospitaljuk újra:
A nevező deriváltja `-2/x^3`
A számlálóé:
`d/(dx)(ln (1-1/x) + 1/(x-1)) = 1/(1-1/x)·1/x^2 - 1/(x-1)^2`
A teljes tört:
`(1/(1-1/x)·1/x^2 - 1/(x-1)^2)/(-2/x^3) = 1/2·(x^3/(x-1)^2 - x/(1-1/x))`
`= 1/2·(x^3/(x-1)^2 - x^2/(x-1))= 1/2·((x^3 - x^2(x-1))/(x-1)^2)`
`=1/2·x^2/(x-1)^2`
Ennek pedig `1/2` a határértéke.
Kész vagyunk, `-1/(2e)` a teljes határérték.
`lim_(x→∞) ((1-1/x)^x-1/e)*x`
Jó szívatós feladat...
`(1-1/x)^x` határértéke `1/e`, ezért ez 0·∞ jellegű szorzat. Alakítsuk át 0/0-ra::
`lim_(x→∞) ((1-1/x)^x-1/e)/(1/x)`
Most már lehet L'Hospitálni:
A nevező deriváltja `-1/x^2`
A számláló deriváltja bonyolultabb. Az `1/e` persze kiesik, de az exponenciális fv-hez trükk kell:
`d/(dx) (1-1/x)^x = d/(dx) e^(ln (1-1/x)^x) = d/(dx) e^(x·ln (1-1/x))`
Ezt meg már sokszorosan összetett függvényként lehet deriválni:
`=e^(x·ln (1-1/x)) · d/(dx)(x·ln (1-1/x))`
`=e^(x·ln (1-1/x)) · (1·ln (1-1/x) + x·d/(dx)ln (1-1/x))`
`=e^(x·ln (1-1/x)) · (ln (1-1/x) + x·1/(1-1/x)·d/(dx)(1-1/x))`
`=e^(x·ln (1-1/x)) · (ln (1-1/x) + x·1/(1-1/x)·1/x^2)`
`=e^(x·ln (1-1/x)) · (ln (1-1/x) + 1/(x-1))`
Kész is van. Kicsit szebb, ha a kezdő exponenciálisat visszaalakítjuk:
`=(1-1/x)^x · (ln (1-1/x) + 1/(x-1))`
A L'Hospital teljes törtje ez:
`lim_(x→∞) (1-1/x)^x · (ln (1-1/x) + 1/(x-1))/(-1/x^2)`
Az első exponenciális rész határértéke `1/e`, a második tört viszont még mindig `0/0` alakú:
`= -1/e · lim_(x→∞) (ln (1-1/x) + 1/(x-1))/(1/x^2)`
Azt L'Hospitaljuk újra:
A nevező deriváltja `-2/x^3`
A számlálóé:
`d/(dx)(ln (1-1/x) + 1/(x-1)) = 1/(1-1/x)·1/x^2 - 1/(x-1)^2`
A teljes tört:
`(1/(1-1/x)·1/x^2 - 1/(x-1)^2)/(-2/x^3) = 1/2·(x^3/(x-1)^2 - x/(1-1/x))`
`= 1/2·(x^3/(x-1)^2 - x^2/(x-1))= 1/2·((x^3 - x^2(x-1))/(x-1)^2)`
`=1/2·x^2/(x-1)^2`
Ennek pedig `1/2` a határértéke.
Kész vagyunk, `-1/(2e)` a teljes határérték.
0
- Még nem érkezett komment!