Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Ferde kúp

69
Egy 12 cm sugarú alapkörrel rendelkező egyenes körkúp csúcsát az eredeti pozíciójához képest 5 cm-el eltoljuk „megdöntjük a kúpot”. Az alapkör középpontja és a ferde kúp csúcsának távolsága 17 cm.

Számítsa ki a ferde kúp felszínét és térfogatát.
Számítsa ki a legnagyobb beírható gömb térfogatát.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
1
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
Legyen `x` a csúcs eltolásának mértéke, és `d` a csúcs (`P`) távolsága az alapkör középpontjától, `K`-tól. Az alap sugara pedig `r`!
`r = "12 cm" ``", "`` x = "5 cm" ``", "`` d = "17 cm"`

Mivel alapból az egyeneskúp tengelyesen szimmetrikus, így az alapjára merőleges, a csúcsot tartalmazó keresztmetszetek közül nincs kitüntetett, mivel minden irányból ugyanúgy néz ki. Viszont ebben az esetben, mivel a kúp csúcsát eltoltuk, ezért van a testnek egy, a többinél "érdekesebb" keresztmetszete, ami merőleges az alapra, tartalmazza a csúcsot és az alap középpontját is! Jelen esetben elég ezt az egyetlen keresztmetszetet vizsgálnunk olyankor, amikor az egyeneskúpoknál használt képletek nem működnek. Az ábrámon is ez a keresztmetszet látható!

Először is számoljuk ki a test magasságát, mert azt cselesen két másik adattal adták meg. A csúcs távolsága `d` és eltolása `x` egy derékszögű háromszöget alkot a keresett magassággal, ami legyen `h`. Tehát:
`d^2 = h^2+x^2 => h = sqrt(d^2-x^2) = sqrt(17^2-5^2) = sqrt 264 = 2 sqrt 66 ~~ "16,248 cm"`

Ezek után közvetlenül adódik a térfogat, mivel minden gúlaszerű testre igaz, hogy a térfogata egyenlő az alapterülete és a magasságának szorzatának harmadával!
`V_"ferde kúp" = (T_"alap"*h)/3 = (pi r^2*h)/3 = (12^2 pi*2 sqrt 66)/3 = 96 pi sqrt(66) ~~ "2 450,152 cm"^3`

A felszínnel viszont már nem járunk ilyen jól... Egy közönséges kúp felszínéhez kellene az alkotó, ami a távolsága a csúcsnak az alap kerületétől, ami egy adott hossz lenne. Jelen esetben viszont nincs egy adott értéke, az függ attól, hogy milyen szögben nézzük a testet, így a palást nem egy szabályos körcikk ha kiterítjük a síkra, hanem egy torzított. Tehát a felszín kiszámolása túl bonyolult lenne. Persze nem lehetetlen, de én inkább kihagynám, mivel semmi tanulságos nem volna benne.

A beírható gömb sugarához, ami legyen `rho`, pedig azt a kitűntetett keresztmetszetet érdemes megvizsgálni, amit korábban említettem, mert azon van rajta az összes olyan pont, ami érdekes a beírható gömb szempontjából, így az ebbe a keresztmetszetbe elférő kör sugara meg fog egyezni a keresett gömb sugarával! Ez a keresztmetszet egy háromszöget ad, aminek minden oldala különbözik, így ez egy teljesen általános háromszög. Viszont ismerjük a leghosszabb oldalát, mert az az alap átmérője `"24 cm"`, illetve a magasságát, ami maga a test magassága is, `h`. Ez a magasság 2 derékszögű háromszögre osztja a keresztmetszetet, amiknek közös az egyik befogójuk: a magasság `h`, a másik oldaluk pedig számolható, ugyanis az egyik annyival rövidebb az alap sugaránál, amennyivel eltoltuk a kúp csúcsát, a másik pedig annyival hosszabb! Tehát az átfogók
`a_1^2 = h^2+(r-x)^2 => a_1 = sqrt(264+7^2) = sqrt 313 ~~ "17,692 cm"`
`a_2^2 = h^2+(r+x)^2 => a_2 = sqrt(264+17^2) = sqrt 553 ~~ "23,516 cm"`

Tehát a beírható kör/gömb sugara:
`rho = (2T)/K = (2*(2r*h)/2)/(2r+a_1+a_2) = (2*12*2 sqrt 66)/(2*12+sqrt 313+sqrt 553) ~~ "5,980 cm"`

`V_rho = (4 pi rho^3)/3 ~~ "895,840 cm"^3`
Módosítva: 1 hónapja
1