Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Rövid matematika
nagyaliz
kérdése
374
Számítsa ki az ab-cd értékét, abban az esetben, ha a²+b²=1, illetve c²+d²=1. Az ac+bd=0 egyenlőségek teljesüljenek.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
3
Epyxoid
{ Tanár }
megoldása
A kérdés eredetileg úgy szól, hogy `a, b, c, d in RR` és `ab+cd` értéke a kérdés...
`{(a^2+b^2=1), (c^2+d^2=1), (ac+bd=0), (ab+cd=?):}`
`(ab+cd)^2 = (ab+cd)^2-(ac+bd)^2`, mivel `ac+bd=0`
`(ab+cd)^2-(ac+bd)^2 ``=`` a^2b^2 cancel(+2abcd)+c^2d^2-a^2c^2 cancel(-2abcd)-b^2d^2 ``=`` a^2b^2+c^2d^2-a^2c^2-b^2d^2 ``=`` a^2(b^2-c^2)-d^2(b^2-c^2) ``=`` (a^2-d^2)(b^2-c^2)`
Ha az első két egyenletet kivonjuk egymásból:
`a^2-d^2+b^2-c^2 = 0 " /"-b^2+c^2`
`a^2-d^2 = -b^2+c^2`
`a^2-d^2 = -(b^2-c^2)`
Vagyis
`(ab+cd)^2 = -(b^2-c^2)(b^2-c^2) ``=`` -(b^2-c^2)^2`
Mivel `(ab+cd)^2` mindig nagyobb egyenlő, mint 0, `-(b^2-c^2)^2` pedig mindig kisebb egyenlő, mint 0, így ez csak úgy valósulhat meg a valós számok halmazán, ha
`(ab+cd)^2 = -(b^2-c^2)^2 = 0`
Így tehát
`ab+cd = 0`
Nagyon cseles feladat. Főleg ha jól van feltéve a kérdés. Innen a megoldás:
https://math.stackexchange.com/questions/2427824/a2b2-c2d2-1-textand-acbd-0-compute-abcd
`{(a^2+b^2=1), (c^2+d^2=1), (ac+bd=0), (ab+cd=?):}`
`(ab+cd)^2 = (ab+cd)^2-(ac+bd)^2`, mivel `ac+bd=0`
`(ab+cd)^2-(ac+bd)^2 ``=`` a^2b^2 cancel(+2abcd)+c^2d^2-a^2c^2 cancel(-2abcd)-b^2d^2 ``=`` a^2b^2+c^2d^2-a^2c^2-b^2d^2 ``=`` a^2(b^2-c^2)-d^2(b^2-c^2) ``=`` (a^2-d^2)(b^2-c^2)`
Ha az első két egyenletet kivonjuk egymásból:
`a^2-d^2+b^2-c^2 = 0 " /"-b^2+c^2`
`a^2-d^2 = -b^2+c^2`
`a^2-d^2 = -(b^2-c^2)`
Vagyis
`(ab+cd)^2 = -(b^2-c^2)(b^2-c^2) ``=`` -(b^2-c^2)^2`
Mivel `(ab+cd)^2` mindig nagyobb egyenlő, mint 0, `-(b^2-c^2)^2` pedig mindig kisebb egyenlő, mint 0, így ez csak úgy valósulhat meg a valós számok halmazán, ha
`(ab+cd)^2 = -(b^2-c^2)^2 = 0`
Így tehát
`ab+cd = 0`
Nagyon cseles feladat. Főleg ha jól van feltéve a kérdés. Innen a megoldás:
https://math.stackexchange.com/questions/2427824/a2b2-c2d2-1-textand-acbd-0-compute-abcd
Módosítva: 3 éve
3
-
Törölt: Nyugi tudtuk hogy magadtól nem fog menni.... 3 éve -3
-
Epyxoid: Látod látod. Akkor csak nem vagyok mindent tudó... Döntsd el végre, hogy akkor ez most jó vagy nem jó, mert ha mindentudó vagyok akkor meg az a baj. Bár gondolom neked semmi se jó...
3 éve
0
-
Törölt: Te csak azt hiszed magadról hogy mindent tudsz. A kettő között van különbség. Megint be bizonyosodott hogy más tudását akarod beadni sajátodként. Szánalmas..... 3 éve -3
-
Epyxoid: Hirtelen mennyire jól ismersz... Szerintem itt más a szánalmas...
3 éve
2
kazah
válasza
Ja, ha az a kérdés, akkor:
Az első két egyenlet alapján:
a = sin x
b = cos x
c = cos y
d = sin y
A harmadik tehát:
`sinx*cosy+cosx*siny= 0` = `sin(x+y)`
x+y = 0
Tehát `y=-x` (`+k*pi`, de a periódus miatt ebbe most nem megyünk bele)
`sin(-x)=-sinx` és `cos(-x)=cos(x)` azonosságokat felhasználva
`sinx*cosx+siny*cosy` = `sinx*cosx+(sin(-x)*cos(-x))` = `sinx*cosx+(-sinx*cosx)` =0
Ha x = -y, akkor
`sin(-y)*cos(-y)+siny*cosy` = `-siny*cosy+siny*cosy` = 0
De ha nem az a kérdés, akkor is számolható. (2ab vagy -2cd az eredmény).
Az első két egyenlet alapján:
a = sin x
b = cos x
c = cos y
d = sin y
A harmadik tehát:
`sinx*cosy+cosx*siny= 0` = `sin(x+y)`
x+y = 0
Tehát `y=-x` (`+k*pi`, de a periódus miatt ebbe most nem megyünk bele)
`sin(-x)=-sinx` és `cos(-x)=cos(x)` azonosságokat felhasználva
`sinx*cosx+siny*cosy` = `sinx*cosx+(sin(-x)*cos(-x))` = `sinx*cosx+(-sinx*cosx)` =0
Ha x = -y, akkor
`sin(-y)*cos(-y)+siny*cosy` = `-siny*cosy+siny*cosy` = 0
De ha nem az a kérdés, akkor is számolható. (2ab vagy -2cd az eredmény).
3
-
Epyxoid: Ahonnan a megoldást is néztem ott is valaki ezzel a megoldással jött. De én azt nem értem, hogy miért tehetjük a változókat egyenlővé szinusszal, meg koszinusszal? Csak azért mert kielégítik az egyenleteket máris bírnak a változók a szögfüggvényekre jellemző tulajdonságokkal? Nekem ez nem világos. 3 éve 0
-
kazah: Ha az van, hogy `a^2+b^2=1`, akkor lehet `a=sin x` és `b=cos x`, mert a `sin^2 x + cos^2 x = 1` mindig igaz. Így feleződnek az ismeretlenek. 3 éve 0
-
kazah: Továbbá `|a,b,c,d| le 1` is belátható az első két egyenlet alapján. 3 éve 1
-
Epyxoid: De pont ezt kérdezem. Csak azért mert kielégítik az eredeti egyenletet, attól még lehet független is a két változó értéke... Vagy ezekkel a szögfüggvényekkel csak lehetséges megoldásokat kapunk meg? Nekem nem tiszta ez. Attól még, hogy `a` értéke lehet `sin x`, az még nem jelenti azt, hogy az is. Lehet valami teljesen más is. 3 éve 0
-
kazah: Ez egy egyenletmegoldási módszer, helyettesítéssel. Mint amikor egy exponenciális egyenletet oldunk meg `3^x=a` helyettesítéssel. Itt meg `a=sinx` lesz, ennyi. De az adott egyenletekből következik, hogy `b=cosx`. 3 éve 0
-
Epyxoid: Jaaaaaaa, hogy kiszámolód így x-et, meg y-t ha jól látom és abból visszaszámolod az eredeti változókat? Ez fel se tűnt! 3 éve 0
-
Epyxoid: Most értettem csak meg. Azt hiszem. 3 éve 1
Epyxoid
{ Tanár }
válasza
Találtam egy még frappánsabb módot a megoldásra. Nekem ez tetszik a legjobban!
Mivel `a^2+b^2` és `c^2+d^2` is eggyel egyenlő, ezért a következő is egyenlő:
`ab+cd = ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2) ``=`` abc^2+abd^2+a^2cd+b^2cd ``=`` ac(bc+ad)+bd(bc+ad) ``=`` (ac+bd)(bc+ad)`
És mivel adott, hogy `ac+bd=0`, ezért...
`ab+cd = (ac+bd)(bc+ad) = 0*(bc+ad) = 0`
Mivel `a^2+b^2` és `c^2+d^2` is eggyel egyenlő, ezért a következő is egyenlő:
`ab+cd = ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2) ``=`` abc^2+abd^2+a^2cd+b^2cd ``=`` ac(bc+ad)+bd(bc+ad) ``=`` (ac+bd)(bc+ad)`
És mivel adott, hogy `ac+bd=0`, ezért...
`ab+cd = (ac+bd)(bc+ad) = 0*(bc+ad) = 0`
1
- Még nem érkezett komment!