Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Rövid matematika

114
Számítsa ki az ab-cd értékét, abban az esetben, ha a²+b²=1, illetve c²+d²=1. Az ac+bd=0 egyenlőségek teljesüljenek.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

3
A kérdés eredetileg úgy szól, hogy `a, b, c, d in RR` és `ab+cd` értéke a kérdés...

`{(a^2+b^2=1), (c^2+d^2=1), (ac+bd=0), (ab+cd=?):}`

`(ab+cd)^2 = (ab+cd)^2-(ac+bd)^2`, mivel `ac+bd=0`

`(ab+cd)^2-(ac+bd)^2 ``=`` a^2b^2 cancel(+2abcd)+c^2d^2-a^2c^2 cancel(-2abcd)-b^2d^2 ``=`` a^2b^2+c^2d^2-a^2c^2-b^2d^2 ``=`` a^2(b^2-c^2)-d^2(b^2-c^2) ``=`` (a^2-d^2)(b^2-c^2)`

Ha az első két egyenletet kivonjuk egymásból:
`a^2-d^2+b^2-c^2 = 0 " /"-b^2+c^2`
`a^2-d^2 = -b^2+c^2`
`a^2-d^2 = -(b^2-c^2)`

Vagyis
`(ab+cd)^2 = -(b^2-c^2)(b^2-c^2) ``=`` -(b^2-c^2)^2`

Mivel `(ab+cd)^2` mindig nagyobb egyenlő, mint 0, `-(b^2-c^2)^2` pedig mindig kisebb egyenlő, mint 0, így ez csak úgy valósulhat meg a valós számok halmazán, ha
`(ab+cd)^2 = -(b^2-c^2)^2 = 0`

Így tehát
`ab+cd = 0`

Nagyon cseles feladat. Főleg ha jól van feltéve a kérdés. Innen a megoldás:
https://math.stackexchange.com/questions/2427824/a2b2-c2d2-1-textand-acbd-0-compute-abcd
Módosítva: 1 hónapja
2

Ja, ha az a kérdés, akkor:


Az első két egyenlet alapján:

a = sin x

b = cos x

c = cos y

d = sin y

A harmadik tehát:

`sinx*cosy+cosx*siny= 0` = `sin(x+y)`

x+y = 0

Tehát `y=-x` (`+k*pi`, de a periódus miatt ebbe most nem megyünk bele)

`sin(-x)=-sinx` és `cos(-x)=cos(x)` azonosságokat felhasználva

`sinx*cosx+siny*cosy` = `sinx*cosx+(sin(-x)*cos(-x))` = `sinx*cosx+(-sinx*cosx)` =0

Ha x = -y, akkor

`sin(-y)*cos(-y)+siny*cosy` = `-siny*cosy+siny*cosy` = 0

De ha nem az a kérdés, akkor is számolható. (2ab vagy -2cd az eredmény).
2

Találtam egy még frappánsabb módot a megoldásra. Nekem ez tetszik a legjobban!

Mivel `a^2+b^2` és `c^2+d^2` is eggyel egyenlő, ezért a következő is egyenlő:
`ab+cd = ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2) ``=`` abc^2+abd^2+a^2cd+b^2cd ``=`` ac(bc+ad)+bd(bc+ad) ``=`` (ac+bd)(bc+ad)`

És mivel adott, hogy `ac+bd=0`, ezért...
`ab+cd = (ac+bd)(bc+ad) = 0*(bc+ad) = 0`
0