Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

[EGYETEM] Függvények határértéke és folytonossága

471
Általában a feladatokban a függvények folytonossága a kérdés.
Egy feladat kivételével az összeset meg tudtam csinálni.
Amelyiket megtudtam, ott az lenne a kérdés, hogy jó-e?
És van egy, amelyiknél összezavarodtam, hogy hogy is van..

1.)
Meg lehet-e adni a p és q paraméterek értékét úgy, hogy az alábbi függvény az x = 2 és
x = 0 helyen folytonos legyen?

f(x) = 2x^(2) - 8x / x^(2) - 4x + 4 (ha x eleme R, kivéve 0 és 2)
f(x) = p, ha x = 2
f(x) = q, ha x = 0

Először átalakítottam az alapfüggvényt:
`(2x(x-4))/((x-4)(x-1))` = `(2x)/(x-1)`

lim(2) `(2x)/(x-1)` = 4 = p = f(2)

lim(0) `(2x)/(x-1)` = `(0)/(-1)` = 0 = q = f(0)

Tehát ha p = 4, és q = 0, akkor a függvény folytonos.

2.)
Az A paraméter milyen értéke mellett folytonos az alábbi függvény az x = 2 helyen?
f(x) = A * `(2x^(2) - 3x - 2)/(x^(2)-2x)` , ha x nem egyenlő 2
f(x) = 4, ha x = 2

Először átalakítás: A * `((x-2)(2x+1)/(x(x-2))` = A * `(2x+1)/(x)`

lim(2) = A * `(5)/(2)`
--> A * `(5)/(2)` = 4
--> A = `(8)/(5)`

Tehát A = `(8)/(5)` paraméter esetén a függvény folytonos lesz x = 2 helyen.

3.a)
Milyen A érték esetén létezik az alábbi függvény határértéke az x0 = 3 helyen?
f(x) = A * `(x^(2)-2x-3)/(x^(2)-7x+12)` , ha x<3
f(x) = `(x^(2)+2x-15)/(x^(2)-3x)` , ha x>3

Átalakítások:
az első függvény egyszerűsítés után: `(x+1)/(x-4)`
a második: `(x+5)/(x)`

első függvény lim(3) = A * (-4)
második fgv lim(3) = `(8)/(3)`

A * (-4) = `(8)/(3)`
A = - `(2)/(3)`
Tehát ezen érték esetén létezik a fgv. határértéke x0 = 3 helyen.

3.b.)
lim f(x) = ?
x-> - végtelenhez tart.

Ezt nem tudom kiszámolni. Nem tudom mit kéne csinálni itt, ilyet nem vettünk órákon. :(
Kérnék segítséget benne!

4.)
Tekintsük az alábbi függvényt.
a.) Folytonos-e x0 = -10 helyen?
b.) Folytonos-e x0 = 10 helyen?

f(x) = `(x^(3)+8x^(2)-20x)/(x^(2)-100)` , ha x eleme R, kivéve -10 és 10
f(x) = -6, ha x = -10
f(x) = 5, ha x = 10

Szokásos átalakítással kezdem:
így f(x)-ből ez lesz: `(x(x-2))/(x-10)`

lim(-10) = `(-10*(-12))/(-20) = -6 , tehát folytonos x = -10 helyen

lim(10) = 80/0 --> 10- esetén: 80/0- = - végtelen
10 + esetén: 80/0+ = + végtelen
azaz nincs határérték, és nem is tehető folytonossá x=10 helyen.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
analízis
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

3
1)
`x^2-4x+4 = (x-2)^2`, nem pedig `(x-4)(x-1)`. Vagy lehet, hogy rosszul írtad fel, és `x^2-5x+4` van a nevezőben? Nem valószínű, mert sem az x=2 sem az x=0 hely nem izgalmas, azokon értelmezve van a függvény. p és q sima behelyettesítéssel megy, nem kell limes sem.

Ha jól írtad fel a törtet:
`f(x) = {((2x(x-4))/(x-2)^2,ha\ x ∈ RR \\ 0 \\ 2),(p,ha\ x=2),(q, ha\ x=0):}`
ekkor `q=0` tiszta eset (ott nem kell limes sem), viszont x=2-nél:
`lim_(x→2) (2x(x-4))/(x-2)^2 = +∞` nem létezik, nem lehet "jó" `p`-t találni.
Módosítva: 3 éve
0

2) jó
3.a) jó
3.b)
`-∞ < 3`, tehát az első definíciót kell használni:
`f(x) = -2/3·(x^2-2x-3)/(x^2-7x+12)=-2/3·(x+1)/(x-4)=-2/3·(1+1/x)/(1-4/x)`
`lim_(x→-∞) -2/3·(1+1/x)/(1-4/x) = -2/3`
hisz az `1/x` és a `4/x` is 0-hoz tart.
0

4) jó
0