Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Kúp

80
Egy félkörlap 20 cm magas kúp palástját adja. Mekkora a kúp térfogata és felszíne?
Hány fokos szöget zár be az alap a palásttal?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
A kúp palástjának a felszínét úgy kapjuk, hogy ha azt kiterítjük, amivel egy körcikket kapunk, aminek sugara az alkotó, ívhossza pedig a kúp alapjának a kerülete. Ezt kicsit nehéz lehet elképzelni, de itt van egy kis szemléltetés és magyarázat hozzá:
https://www.nkp.hu/tankonyv/matematika_8/lecke_06_003

Jelen esetben tudjuk, hogy a palást kiterítve pont egy félkörlapot alkot, vagyis
`(2 pi a)/2 = 2 pi r`
`a = 2r`

Ha oldalról nézzük a kúpot, akkor egy derékszögű háromszöget kapunk ha a magasság mentén megfelezzük a kúp keresztmetszetét, aminek az oldalai az alap sugara `r`, az alkotó `a` és a magasság `m`, amire felírhatjuk a Pitagoraszt.
`a^2 = r^2+m^2`
Ha ebbe behelyettesítjük az előbb kapott összefüggést az alkotó és a sugár között, akkor
`4r^2 = r^2+m^2`
`3r^2 = m^2 => r = sqrt(m^2/3) = sqrt(20^2/3) = 20/sqrt 3 ~~ "11,547 cm"`

Tehát az alkotó
`a = 2r = 2*20/sqrt 3 = 40/sqrt 3 ~~ "23,094 cm"`

A térfogat
`V = (T_"alap"*m)/3 = (r^2 pi*m)/3 = (400/3 pi*20)/3 = 8000/9 pi ~~ "2792,527 cm"^3`

A felszín
`F = T_"alap" + P = r^2 pi + ar pi = 400/3 pi+(20*40)/3 pi = 400 pi ~~ "1256,637 cm"^2`

A kérdéses szöget pedig ugyanabból a derékszögű háromszögből kapjuk meg, amiből a sugarat is. Legyen ez a szög `alpha`. Mivel a vele szemközti oldal a magasság és az átfogó az alkotó, ezért
`sin alpha = m/a => alpha = sin^"-1"(m/a) = sin^"-1"(20/(40/sqrt 3)) = sin^"-1"(sqrt 3/2) = 60°`

Ha bármi kérdésed volna nyugodtan tedd fel, szívesen válaszolok rá!
Módosítva: 1 hónapja
2