Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Trapez

210
Csatoltam képet.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Általános iskola / Matematika

Válaszok

3
Egy oldal és két szög ismeretében nem tudsz trapézt szerkeszteni, legfeljebb egy háromszöget. Jó lenne még egy szárhossz vagy valamilyen adat. Bár a szögekkel se sokra mész általános iskolás szinten.
1

Hát én nem tudom de bízom benne hogy fogalmam sincs :(
Túl sok mindent kéne magunktól feltételezni hogy megoldható legyen amit nem ír a feladat.
Módosítva: 1 hónapja
1

Na tehát... Nevezzük a magasságot `x`-nek. Mindent ennek a függvényében fogunk megadni! (Azért `x` természetesen, mert ez a "főváltozónk", ami hiányzik a feladat leírásából, amivel egyértelműen megoldható lenne a feladat. Bármilyen más adatot is választhattam volna, de ez tűnt a legcélszerűbbnek, hiszen a magassága a második legmeghatározóbb adata egy trapéznak, persze erről lehetne vitatkozni. Illetve a levezetésem azt is bizonyítja, hogy az egész feladat minden kétséget kizáróan, egyértelműen megoldható volna pusztán ezen egyetlen egy további adat ismeretében!)

a)
Először is `x`-ből megkaphatjuk a másik szárat, a `b` oldalt, ugyanis ismerjük a `B` csúcsnál lévő szöget, amit én `alpha`-nak nevezek. Mivel a `BGE` egy derékszögű háromszöget alkot, erre felírhatjuk `alpha` szinuszát, ami
`sin alpha = x/b => b = x/(sin 60°) = x/(sqrt 3/2) = (2 sqrt 3)/3*x`

Ezután Pitagorasszal megkaphatjuk azt a szakaszt, amivel hosszabb a nagyalap a kisalaptól, amit én `d`-nek nevezek.
`x^2+d^2 = b^2 => d = sqrt(b^2-x^2) ``=`` sqrt( ((2 sqrt 3)/3*x)^2-x^2 ) ``=`` x sqrt( ((2 sqrt 3)/3)^2-1 ) ``=`` x sqrt(12/9-1) ``=`` sqrt 3/3*x`

Vagyis a `c` kisalap hossza:
`c = a-d = 15-sqrt 3/3*x`

b)
Na ez már egy kicsit cselesebb feladat, de nem kell túlságosan megijedni tőle. Fegyverünk, a derékszögű háromszögek gyártása mindennél erősebb! Például az `AF_(AB)C` egy derékszögű háromszög, aminek az oldalai `abs(AC)`, `x/2` és `a/2`, mivel a `C` pont a `BF` átló felezőpontja, vagyis felezi a magasságot, `x`-et és az alapot, `a`-t is. Tehát
`(a/2)^2+(x/2)^2 = abs(AC)^2 => abs(AC) = sqrt( (a/2)^2+(x/2)^2 ) ``=`` sqrt((225+x^2)/4) ``=`` sqrt(225+x^2)/2`

Hasonló módon a `CF_(GE)E` is derékszögű háromszög, aminek az oldalai `abs(CE)`, `x/2` és `a/2-d`. Az utóbbi könnyen belátható, hogyha az alapra eltoljuk a kérdéses oldalt (`CF_(GE)`), ami az `F_(AB)G` szakasz. Az `F_(AB)` megfelezi az `a` oldalt, a `GB` szakasz hossza pedig a `d`, vagyis az `F_(AB)G` hossza az `a/2-d`, vagyis a `CF_(GE)` hossza is ennyi. Nézzük ez valójában mit is jelent:
`a/2-d = 15/2-sqrt 3/3*x = 45/6-(2 sqrt 3 x)/6 = (45-2 sqrt 3 x)/6`
Tehát a `CE` hossza:
`(a/2-d)^2+(x/2)^2 = abs(CE)^2 => abs(CE) = sqrt( (a/2-d)^2+(x/2)^2 ) ``=`` sqrt( ((45-2 sqrt 3 x)/6)^2+x^2/4 ) ``=`` sqrt( (2025-180 sqrt 3 x+12x^2)/36+(9x^2)/36 ) ``=`` sqrt((2025-180 sqrt 3 x+21x^2)/36) ``=`` sqrt(2025-180 sqrt 3 x+21x^2)/6`

A legkönnyebb oldalt utoljára hagytam, hogy kicsit fellélegezhessünk! Egyébként nem is kell ezeket a kifejezéseket egyszerűbb alakra hozni, csak én szeretek velük elbabrálni. Utolsónak maradt az `e` oldal, ami a trapézunk másik átlója az `f` mellett, máskülönben. Ez az átló a trapéz "téglalap részét" felezi meg, amit két ugyanakkora derékszögű háromszögre oszt, az `AFE`-re és az `AGE`-re. Ezeknek az oldalai az `e`, az `x` és a `c`, ami ezt jelenti, hogy
`c^2+x^2 = e^2 => e = sqrt(c^2+x^2) ``=`` sqrt((15-sqrt 3/3*x)^2+x^2) ``=`` sqrt(225-cancel 30_10*sqrt 3/cancel 3 x+1/3 x^2+3/3 x^2) ``=`` sqrt(225-10 sqrt 3 x+4/3 x^2)`

Vagyis végső soron a kerület:
`K_(ACE) = sqrt(225+x^2)/2 ``+`` sqrt(2025-180 sqrt 3 x+21x^2)/6 ``+`` sqrt(225-10 sqrt 3 x+4/3 x^2)`

Végszóként: Mivel a `D` pontot és vele együtt a szögfelezőt az egész feladat során sehol sem hasznosítottuk, tulajdonképpen üres, értelmetlen adat, azért sp ötlete nyomán hasznosítanám úgy, hogy feltesszük, hogy `D -= F`, tehát a szögfelező az maga a `BF` átló. Ekkor a következő adódik:
`x = a*"tg 30°" ``=`` cancel 15_5*sqrt 3/cancel 3 ``=`` 5 sqrt 3 ~~ "8,660 cm"`

`b = (2 sqrt 3)/3*5 sqrt 3 ``=`` (2*5*cancel 3)/cancel 3 ``=`` "10 cm"`

`d = sqrt 3/3*5 sqrt 3 ``=`` (5*cancel 3)/cancel 3 ``=`` "5 cm"`

`c = 15-5 ``=`` "10 cm"`

`(x^2 = (5 sqrt 3)^2 = 25*3 = 75)`
`abs(AC) = sqrt(225+75)/2 ``=`` sqrt 300/2 ``=`` (cancel 10_5 sqrt 3)/cancel 2 ``=`` 5 sqrt 3 ~~ "8,660 cm"`

`abs(CE) = sqrt(2025-180 sqrt 3*5 sqrt 3+21*75)/6 ``=`` sqrt(2025-2700+1575)/6 ``=`` sqrt 900/6 ``=`` 30/6 ``=`` "5 cm"`

`e = sqrt(225-10 sqrt 3*5 sqrt 3+4/3*75) ``=`` sqrt(225-150+100) ``=`` sqrt 175 ``=`` 5 sqrt 7 ~~ "13,229 cm"`

`K_(ACE) = 5 sqrt 3+5+5 sqrt 7 ``=`` 5(1+sqrt 3+sqrt 7) ~~ "26,889 cm"`

Ha bárkinek bármilyen kérdése felmerülne a feladattal kapcsolatban, arra nagyon szívesen válaszolok!

Köszönöm a figyelmet!
Módosítva: 1 hónapja
0