Lemaradt az ábra

Hmm. Ott már egész jól kezdődik a dolog, hogy egy általános négyszögről van szó, viszont ez így önmagában nem megoldható, hiszen még csak annyit se tudunk, hogy egyáltalán konvex-e a négyszög, ami azért elég lényeges volna. Bár ezt leszámítva is egész kevés az adat, de ha legalább ez megvolna talán el lehetne indulni valahogy... Habár a területből talán ez indokolható... Hmm.

`T = "1112,9112 m"^2`
`a = "29,5237 m" ``", "`` b = "38,7173 m"`
`c = "34,0485 m" ``", "`` d = "32,6981 m"`

Talán a terület ismeretében el lehet indulni...
`T = sqrt( (p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd*cos^2((beta+delta)/2) ) ``", "`` p = (a+b+c+d)/2`
Ebből
`cos((beta+delta)/2) = sqrt( ((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-T^2)/(abcd) ) ~~ "0,161"`
`(beta+delta)/2 = cos^"-1"("0,161") ~~ "80,733°" => beta+delta ~~ "161,467°"`
Nevezzük ezt a szöget mondjuk `varphi`-nek, vagyis `varphi = beta+delta`.

Ekkor felírhatunk az átlókra egyenleteket, hátha abból kijön valami, ugyanis mindkét átló két-két általános háromszögre osztja ezt az alakzatot, amiknek ismerjük két szomszédos oldalát, a harmadik oldaluk közös (az átló maga), a két-két oldal által bezárt szögek összegét pedig most számoltuk ki. Legyen mondjuk az egyik átló `e`, a másik pedig `f`.
`e^2 = b^2+c^2-2bc*cos beta = a^2+d^2-2ad*cos(varphi-beta)`
`2bc*cos alpha - 2ad*cos(varphi-beta) = b^2+c^2-a^2-d^2`

Mivel tudjuk, hogy `cos(x-y) = cos x cos y + sin x sin y`, ezért
`2bc*cos beta - 2ad*(cos varphi cos beta + sin varphi sin beta) = b^2+c^2-a^2-d^2`
`(2bc-2ad cos varphi) cos beta - (2ad sin varphi) sin beta + (a^2-b^2-c^2+d^2) = 0`
`"...varázslat..."`
`beta_1 ~~ "73,022°" ", " cancel(beta_2 ~~ "271,334°")`, mivel `beta < varphi`
`delta ~~ "88,445°"`
`e ~~ "43,456 m"`

Ugyanez a másik átlóra is megcsinálható...
`alpha ~~ "97,314°"`
`gamma ~~ "101,220°"`
`f ~~ "51,592 m"`

Így legalább ábrázolni lehet a dolgokat, de közelebb nem vagyunk sajnos a megoldáshoz Érdekes feladat. Kíváncsi volnék a megoldására. Biztos valami tömör, lényegre törő képlet jönne ki végül a megoldásra, de nekem valahogy nem adja magát. Látom mindig hasonlóan extra nehéz feladatokat szoktál ide kitenni, email1235. Hát illik a többi közé ez is.

Tovább gondoltam! Mivel ez nem egy matek probléma, hanem egy valóságos probléma, ezért nincs neki egy előre meghatározott megoldás menete, sőt a megoldásnak sem kell olyan végtelenül pontosnak lennie, így kitaláltam egy módot, amivel közelebb kerülhetünk a megoldáshoz...

Eredetileg az okozta a bonyodalmat nálam, hogy a szakasz, amit a `b` és `d` oldal összekötésével alkotunk, amivel megfelezzük a területet az lehet bármilyen meredekségű, és ezáltal bármilyen arányban megfelezheti az oldalakat, miközben továbbra is felezi a területet. Legalább is egy szabályos alakzatnál mindenképpen. Nem tudom, hogy egy ilyen szabálytalan alakzatra is érvényes-e ez az állítás, de meg mondom őszintén, nem adja magát nekem ez a kérdés, innen a fejfájás, amit okozott a feladat.

Viszont kiderült, hogy nem is érdekes, hogy milyen a dőlése ennek a szakasznak, a lényeg, hogy felezze a négyszöget, és innen az ötlet! Legyen párhuzamos ez a felező az alappal! Persze két alapunk is van, az `a` és a `c`, de az nem baj. Mindkettőre kiszámolhatjuk, hogy mi lenne az a velük párhuzamos egyenes, ami megfelezi a négyszöget és valahol félúton majd úgy is találkoznak és noha nem lesznek párhuzamosak - itt semmi sem párhuzamos -, de legalább így lesz egy elképzelésünk arról, hogy körülbelül merre is van ennek a förtelemnek a fele...

Kezdjük az elején! Nekem az `a` oldalán fekszik ez a síkidom, úgyhogy először ezt nézem. Egy olyan egyenest keresünk, ami párhuzamos az `a`-val és épp olyan messze van tőle, hogy felezze a területet. Ez az egyenes a négyszöget egy trapézzá hasítja szét, ami fenomenális, mivel annak sokkalta egyszerűbb a területe!
`T_"trapéz" = (a+c)/2 m`, ahol `a` és `c` a két alap, az `m` pedig a magasság.

Na most! Nekünk ebből csakis az egyik alap van meg, de nem kell félni, mert vannak szögeink! Nem tudom mennyire menjek bele a részletekbe, de zseniális az ötletem! Az az elgondolás, hogy egy trapéz lényegében olyan, mint egy négyzet, csak összetettebb. Tulajdonképpen mindegyik trapézban van egy négyzet, plusz a két oldalán két háromszög. Ezek a háromszögek pedig vagy hozzáadnak a területhez, hogy ha az alapon fekvő szögük nagyobb, mint 90° (kifelé nyílik az alakzat), vagy elvesznek belőle (befelé záródik az alakzat), attól függ melyik alapról nézzük. Egy szó, mint száz!
`T/2 = ( 2a+m_a[ sin(alpha-90°) + sin(delta-90°) ] )/2 m_a`

Megdöbbentő, de sikerült egy olyan egyenletet gyártani, amiben csak egyetlen egy adat nem ismert, az `m_a`! Rendezzük is át rá az egyenletet!
`T = [sin(alpha-90°) + sin(delta-90°)]m_a^2 + 2am_a`

`[sin(alpha-90°) + sin(delta-90°)]m_a^2 + 2am_a - T = 0`

Ezzel kaptunk egy gyönyörű szép egyenletet `m_a`-ra. Lássuk mit ad ki!
`m_(a1) ~~ "18,2808 m", cancel(m_(a2) ~~ "-607,763")`, mivel `0 < m_a < e`

Illetve az alakzat másik felére is megcsinálhatjuk ugyanezt!
`T/2 = ( 2c+m_c[ sin(beta-90°) + sin(gamma-90°) ] )/2 m_c`

`[sin(beta-90°) + sin(gamma-90°)]m_c^2 + 2cm_c - T = 0`

`m_(c1) ~~ "16,7442 m", cancel(m_(c2) ~~ "682,103")`, mivel `0 < m_c < e`

Az ábrán nagyon szépen látszik az eredmény! A két egyenes mind felezi az alakzatot és a `K` pontban metszik egymást. Tehát az `AD\D'A'` trapéz területe megegyezik a `BC\C'B'` trapéz területével, amik az egész négyszög területének felét teszik ki! Sajnos az értékek nem valami pontosak, már a szögek se voltak azok, így ezek a magasságok sem, de egész jó, még így is az eredmény. Az alkalmazás, amivel csinálom az ábrát `"556,627"`-et mond az `AD\D'A'` területére és `"555,121"`-et a `BC\C'B'` területére, úgyhogy a relatív hiba az kb `"0,241"%`, vagyis kevesebb, mint negyed százalék, ami azért nem szar...

Nézzük, hogy ez mit is jelent a `b` és `d` oldalakra nézve...
- Ha az `a` oldallal párhuzamosan felezünk:
`abs(A\A)' = m_a/cos(alpha-90°) ~~ "18,4307 m" ``", "`` abs(BA') ~~ "20,2866 m"`
`abs(D\D') = m_a/sin delta ~~ "18,2875 m" ``", "`` abs(CD') ~~ "14,4106 m"`

- Ha a `c` oldallal párhuzamosan felezünk:
`abs(B\B') = m_c/sin beta ~~ "17,5073 m" ``", "`` abs(AB') ~~ "21,2100 m"`
`abs(C\C') = m_c/cos(gamma-90°) ~~ "17,0704 m" ``", "`` abs(DC') ~~ "15,6277 m"`

Leírtam mindkét oldalról nézve a hosszakat, hogy oszlik meg a két oldal a két esetben. Mindkettő használható. Egyik az egyik egyirányú oldallal fut, a másik a másikkal és mindkettő felezi a területet! Bejelöltem az ábrámon az oldalfelezőket is, hogy lássuk mekkora az eltérés, hogy ha csak simán azok mentén szeljük ketté a négyszöget. Ebben az esetben a relatív hiba a területben kevesebb, mint 3%, így azért így se hibáztunk volna olyan nagyot. De hát azért még is csak, ennél 12-szer kisebb hiba is elérhető! Illetve annyit még tegyünk hozzá, hogy nem biztos, hogy ugyanilyen elrendezésben vannak a szögek! A szemben lévő szögek felcserélhetőek tetszőlegesen a terület változása nélkül, így nem tudhatni, hogy pontosan hol melyik szög van...