Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Hogy lehet meghatározni a szögeket? (trigonometria)

68
Sziasztok! Alábbi a feladat:
Adja meg azoknak a 0° és 360° közötti a(alfa) szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség!
cos (alfa) 1/2
Ennek a feladatnak igazából megvan a megoldása, de nem tudom hogy kell kiszámolni, valaki elmagyarázná?
Megoldás: a1: 60° a2: 300°
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
trigonometria, Matematika, levezetés
1
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Általában az ilyen trigonometrikus egyenletek megoldásához ismerni kell valamennyire magát a szögfüggvényt. Például itt, ha beütöd a számológépbe, hogy `cos^"-1"(1/2)`, akkor `60°`-ot fog kidobni (már ha szögbe van állítva a mértékegység). A `300°` onnan ered, hogy van a függvénynek egy bizonyos szimmetriája.

A `cos` esetében például, hogy
`cos(alpha) = cos(360°-alpha)`
Vagyis ha `cos(60°) = 1/2`, akkor `cos(360-60) = cos(300°)` is `1/2`.

Koszinusz értéke bármi lehet -1-től 1-ig és minden értékhez 2 szög is tartozik. Legalább is az első periódusból, vagyis 0° és 360° között. Viszont ha eltoljuk az egészet és 360°-720° között nézzük a szögeket, akkor az is ugyanolyan, mint 0° és 360° között. Ami ezt jelenti, hogy `cos(60+360) = cos(420°)` és `cos(300+360) = cos(660°)` is ugyanúgy `1/2`-del egyenlő. Sőt, még a másik irányba is!! Vagyis `cos(60-360) = cos(-300°)` és `cos(300-360) = cos(-60°)` is mind mind `1/2`. Azaz végtelen sok megoldása van a `cos(alpha) = 1/2` egyenletnek!

Viszont a megoldások viszonylag egyszerűen felírhatóak:
`alpha_1 = 60° + k*360°, AA k in ZZ`
`alpha_2 = 300° + l*360°, AA l in ZZ`

Vagyis minden olyan szög, ami 60° eltoltja akárhányszor 360°-nal és 300° eltolva akárhányszor 360°-nal.

Most nézem csak, hogy kizárólag 0° és 360° között kíváncsiak a válaszra. Akkor tényleg csak a 60° és a 300°.

A koszinusz függvényről esetleg itt van egy kis szemléltetés:
https://www.geogebra.org/m/a43kyne6
Módosítva: 1 hete
2

2