Csatoltam képet.

Egy koordináta-geometriai megoldás:

Legyen a háromszög:

A(0;0), B(0;16) és C(21;0). (Ábra)

Ekkor:

A háromszög köré írható kör középpontjának koordinátái az átfogó felezőpontja.

`F_1`: `(21/2;16/2)` = `(10.5;8)`

A beírható kör középpontja rajta van a derékszög szögfelezőjén; tehát annak ordinátája és abszcisszája megegyezik; sugara számítható (ahogy bazsa is tette):

`T=r*s` = `r*K/2`

T = `(16*21)/2` = 168 `cm^2`

s = `(16+21+root()(16^2+21^2))/2` = 31,7 cm

r = `T/s` = `168/31.7` = 5,3 cm

A beírható kör középpontjának koordinátái tehát:

`F_2` : (5,3;5,3)

A két pont távolsága:

`d(F_1-F_2)` = `root()((x_(F1)-x_(F2))^2+(y_(F1)-y_(F2))^2)` = `root()((10.5-5.3)^2+(8-5.3)^2)` `approx` 5,86 cm

Ide szegődnék én is harmadiknak... Nincs már sok minden, amit hozzátehetnék a megoldáshoz, de azért mégis csak, hátha segít...

Igazából ide csak képleteket kell tudni...

A beírt kör sugarának hossza:
`r = (2T)/K = T/s`
A köré írt kör sugarának hossza:
`R = (abc)/(4T)`
A kettő középpontjának távolsága `x`, pedig
`x = sqrt(R(R-2r)) = sqrt(R^2-2Rr)`
ahol `a, b, c` a háromszög oldalai, `T` a területe, `K` a kerülete, és `s` a kerület fele.

Ezek voltak az általános képletek. Viszont itt, mivel ez egy derékszögű háromszög, ezért a terület képlet egyszerűsödik egy általános háromszögéhez képest.
`T = (a*b)/2`
ahol `a, b` a háromszög két befogója.

Tehát:
`r = (2*(ab)/2)/K = (ab)/(a+b+c) ``", "`` R = (abc)/(4*(ab)/2) = c/2`

A `c` oldal Pitagorasz tételéből adódik, mivel derékszögű a háromszög:
`a^2+b^2=c^2 ``=>`` c = sqrt(a^2+b^2) = sqrt(16^2+21^2) = sqrt 697 ~~ "26,401 cm"`

`r = (16*21)/(16+21+sqrt 697) = (37-sqrt 697)/2 ~~ "5,300 cm" ``", "`` R = (sqrt 697)/2 ~~ "13,200 cm"`

Vagyis
`x = sqrt(((sqrt 697)/2)^2 - 2*(sqrt 697)/2*(37-sqrt 697)/2) = sqrt(2091 - 74 sqrt(697))/2 ~~ "5,860 cm"`

Ha bármi kérdésed felmerülne nyugodtan tedd fel. Szívesen válaszolok rá!

Maga a képlet rendezve így jön ki.