https://www.calculat.org/hu/terulet-kerulet/paralelogramma/

Nesze ez ki számolja. Ezek a "feladat megoldók" is programokkal csinálnak mindent aztán beadják milyen okosak.....

Csatoltam képet.

Talán de nem biztos.

Az alapot (az az oldal, amelyiken fekszik az alakzat) `a`-nak, a másikat `b`-nek jelölöm, a hosszabbik átlót `p`-nek, a rövidebbiket pedig `q`-nak.

a)
A hosszabbik átló két azonos háromszögre osztja a paralelogrammát, amiknek az oldalai `a`, `b` és `p`. Erre felírhatjuk a koszinusztételt, hogy megtudjuk az átlóval szembeni szöget, amit `beta`-val jelölök.
`p^2 = a^2+b^2-2ab cos beta`
`cos beta = (a^2+b^2-p^2)/(2ab) = (30^2+42^2-54^2)/(2*30*42) = -1/10`
`beta = cos^(-1)(-1/10) ~~ "95,739°"`

Mivel a paralelogramma szemközti szögei egyenlőek, és a belső szögek összege 360°, ezért
`2 alpha+2 beta = 360` `" /:2"`
`alpha + beta = 180 => alpha ~~ "84,261°"`

b)
A rövidebbik átlót megint csak háromszögek gyártásával is kiszámolhatjuk, de én most inkább egy másik módszert használnék. Ugyanis a paralelogramma esetében az is igaz, hogy az átlók négyzetösszege egyenlő az oldalak négyzetösszegével!
`p^2+q^2 = 2(a^2+b^2)`
`q = sqrt(2(a^2+b^2) - p^2) = sqrt(2(30^2+42^2) - 54^2) = 6 sqrt 67 ~~ "49,112 cm"`

De például a koszinusztétellel is kiszámolható lett volna. (`q^2 = a^2+b^2-2ab cos alpha`)

c)
`T = ab sin alpha = 30*42*sin alpha = 378 sqrt 11 ~~ "1253,684 cm"^2`
`K = 2(a+b) = 2(30+42) = "144 cm"`

d)
Mivel a paralelogramma két-két oldala párhuzamosak - amikhez egy-egy magasság társul -, ezért a beleírható kör biztosan érint két oldalt, vagyis az átmérőjét a rövidebbik magasság fogja adni, ami a hosszabb oldalpárhoz tartozik, azaz a `b` oldalhoz, ezért `m_b`-vel jelölöm. Ha ezt a magasságot az egyik csúcsból rajzoljuk, akkor egy derékszögű háromszöget alkot a paralelogramma `a` alapjával, miben felírva `alpha` szinuszát a következőt kapjuk:
`sin alpha = m_b/a`
`m_b = a sin alpha`

Ennek a fele a beírt kör sugara, vagyis
`r = m_b/2 = (a sin alpha)/2 = (9 sqrt 11)/2 ~~ "14,925 cm"`

A területe pedig:
`T_"kör" = r^2 pi = 891/4 pi ~~ "699,790 cm"^2`

α = 95,74°
β = 84,26°

Átló = 49,1 cm

T = 1253,68 cm négyzet
K = 144 cm

Kör területe = 699,79 cm négyzet

És kész is a feladat.