Ha minden igaz akkor ez jó lesz:
Ha kell levezetem hogy hogyan lett 4 eredmény de mivel ilyen feladatokat kaptok szerintem az nem szorul magyarázatra hogy x×x×x2 miért x4
De remélem nem nagy baj hogy az nincsen papíron mind a 4 x-re

Így gondoltam, és mint írtam különböző egyéb módszerekkel lehet még módosítani az egyenlete (nyilván úgy hogy a kifejezés értéke ne változzon meg)

Egyébként ez a hivatalos negyedfokú:
https://hu.wikipedia.org/wiki/Negyedfok%C3%BA_egyenlet
De szerintem nincs olyan ember a világon aki ezt képes lenne bemagolni anélkül hogy értse. Bár statisztikailag biztosan van legalább egy

Nem a legjobb a képminőség, de azért olvasható, ez az eredménye annak ha jó vagy az összefüggések felismerésében, kiemelésben meg ha a matektanárod a nézésével ölni tud. Meg ha nincs életed és nyáron is matekozol meg fizikázol mert az jobban érdekel mint a szociális élet... Na de mindegy is

Azért jó az értelmezési tartománnyal foglalkozni az ilyen feladatokban, mert - egyrészt jó gyakorlás, másrészt - az közvetlenül megindokolja nekünk, hogy melyik kapott megoldás elégíti ki az eredeti egyenletet és melyik nem. Az értelmezési tartományt olyan dolgok szűkíthetik, mint például hogy a nevező nem lehet nulla, a gyök alatti kifejezés nem lehet negatív, illetve a gyökös kifejezés egy oldalra rendezése után a másik oldal sem lehet negatív, hiszen maga a gyökös kifejezés sem lehet az. Tehát tudjuk, hogy
`x^2-1 > 0`
`x^2 > 1 " /" sqrt`
`abs x > 1 => x in (-oo, -1) uu (1, oo)`

Illetve majd amikor lejjebb egy oldalra rendezem a gyökös kifejezést, abból láthatjuk, hogy mi marad az egyenlet másik oldalán, ami nem lehet negatív. Vagyis
`(12x)/(35-12x) >= 0`

Egy tört akkor nagyobb, mint 0, ha a számlálója és nevezője vagy nagyobb, vagy kisebb, mint 0. Nulla pedig akkor lehet, ha a számláló nulla, de a nevező nem nulla. Tehát:
`I.`
`{(12x >= 0, => x >= 0), (35-12x > 0, => x < 35/12):}`
`=> 0 <= x < 35/12 => x in [0, 35/12)`
`II.`
`{(12x <= 0, => x <= 0), (35-12x < 0, => x > 35/12):}`
`=> 35/12 < x <= 0 => x in O/`

Ezeket összegezve pedig azt kapjuk, hogy az értelmezési tartomány a következő:
`D = (1, 35/12) = (1; "2,91"dot 6)`
(Ezzel zárom majd ki a megoldások felét később!)

Most, hogy ez megvolt lássunk neki a feladatnak!
`(x)/sqrt(x^2-1) = 35/12-x` `" /" *12 sqrt(x^2-1)`
`12x = (35-12x)*sqrt(x^2-1)` `" /" :(35-12x)`
`(12x)/(35-12x) = sqrt(x^2-1)` `" /" ()^2`
`((12x)/(35-12x))^2 = x^2-1`
`(144x^2)/(35-12x)^2 = x^2-1` `" /" *(35-12x)^2`
`144x^2 = (x^2-1)(35-12x)^2`
`144x^2 = (x^2-1)(1225-840x+144x^2)`
`144x^2 = 1225x^2-840x^3+144x^4 - 1225+840x-144x^2`
`144x^4 - 840x^3 + 937x^2 + 840x - 1225 = 0`

Már eddig eljutni is elég szopás volt... Ami most jön csak még inkább az lesz! Tudjuk, hogy `144x^4=(12x^2)^2`, illetve hogy `1225 = 35^2`, de mivel 35 az `5*7`, ezért `35^2 = (5*7)^2 = 5^2*7^2 = 25*49`. Tehát valami ilyenre jó lenne szétbontani a fentit:
`(12x^2 + Ax + 25)*(12x^2 + Bx - 49)`
`144x^4 + 12Bx^3 - 12*49x^2 + 12Ax^3 + ABx^2 - 49Ax + 12*25x^2 + 25Bx - 1225`
`144x^4 + (12B+12A)x^3 + (-12*49+AB+12*25)x^2 + (-49A+25B)x - 1225`

Ezt a mi egyenletünkkel összevetve a következőt kapjuk:
`{("I.", 12A+12B = -840),("II.", AB+12(25-49) = 937),("III.", 25B-49A = 840):}`

A II.-on dolgozhatunk egy kicsit:
`AB-12*24 = 937`
`AB = 1225`
Illetve adja magát, hogy `-"III." = "I."`, tehát:
`12A+12B = 49A - 25B` `" /" -12A+25B`
`37A = 37B`
`A = B`
Ezt visszahelyettesítve az elsőbe megkapjuk, hogy
`A = B = -35`

Vagyis a szorzatunk nem más, mint:
`(12x^2 - 35x + 25)*(12x^2 - 35x - 49) = 0`

Innentől pedig már jelentősen könnyebb a dolgunk:
`I.`
`12x^2 - 35x + 25 = 0`
`x_1 = 5/4 = "1,25";` `x_2 = 5/3 = "1,6"dot 6`
`II.`
`12x^2 - 35x - 49 = 0`
`x_3 = (35 + 7 sqrt(73))/24 ~~ "3,95";` `x_4 = (35 - 7 sqrt(73))/24 ~~ "-1,03"`

Ezek közül `x_1 in D` és `x_2 in D`, vagyis megoldásai az eredeti egyenletnek. Viszont `x_3 notin D` és `x_4 notin D`, vagyis ezek nem megoldások.

Jó kis feladat volt! Határozottan nem középiskolai, max emelt matekon lehet ilyen, de azért érdekes volt!

Először közelítsünk, számolni úgyse érdemes.

Egy szám (ami majd a megoldásunk lesz) és ami mellette van, az összege `35/12` = `2.91dot(6)` (legyen kb 3, úgy lazább )

A kezdeti feltétel alapján a szám 1-nél nagyobb és ha -1-nél kisebb lenne, akkor az összeg nem jön ki `approx` 3-ra. Tehát marad az, hogy pozitív és 1-nél nagyobb, de 3-nál kisebb. Sőt, ha kivonjuk azt a gyökös rettenetet, akkor azt is belátjuk, hogy 2-nél kisebb.

Ezzel nagyon leszűkült a kör, 1 és 2 közötti számot (számokat) keresünk. Mivel az egyenlet másodfokú tagot tartalmaz, kettőnél több gyököt nem érdemes keresni.

Hogyan tudnánk felbontani az összeget úgy, hogy kezelhető legyen?

`(a+b)/12=35/12`, ahol a és b is 13 és 23 között van (szűkül a kör)

a+b = 35

`a/12+a/root()(a^2-12^2) = 35/12`

A pitagorasz számhármasokat ha nem is mindet, de a 3-4-5-öt mindenki ismeri.

Így aztán olyat keresünk, aminek köze van a 12-höz, ez pedig (ha a fenti hármast szorozzuk 3-mal vagy 4-gyel), akkor szintén ilyen hármast kapunk.

I. 9-12-15 esetén

a = 15; b = 20

A bal oldali összeg az első esetben:

`15/12+20/12`

Ellenőrzés:

`15/12+(15/12)/(root()((15/12)^2-1)` = `15/12+15/root()(9^2)` = `15/12+5/3` = `(15+20)/12` = `35/12`

II. 12-16-20 esetén

a = 20; b = 15

`20/12+(20/12)/(root()((20/12)^2-1)` = `20/12+20/16` = `20/12+5/4` = `(20+15)/12` = `35/12`

Meg is van a két megoldásunk leellenőrizve, `20/12` és `15/12`

De elég nagy suttyóság ilyen feladatot adni, és ez csak egy közelítéses módszer.

Mindenkinek köszönöm a segítséget.