Matek kombinatorika

1,

n csúcs esetén 1 csúcsból tudunk húzni n-3 csúcshoz átlót, hiszen saját magához és a két szomszédoshoz nem tudunk húzni. n csúcsból tehát `n*(n-3)` átlót tudnánk húzni, de A-ból húzuk B-be és B-ből A-ba, tehát így mindegyik átló kétszer szerepelne, osztjuk kettővel. Megoldás:

Átló = `(n*(n-3))/2`

2,

Ez az ismétlés nélküli kombináció definíciója. Pl lottóhúzás.

`C_n^k` = `((n),(k))` = `(n!)/(k!*(n-k)!)`

3,

Ha már ismered az ismétlés nélküli kombinációt, akkor

`((9),(3))` = 84-féleképpen.

Ha még nem, akkor első helyen választhatunk 9 közül, a második lyuknak 8-ból, a harmadiknak 7-ből; de a sorrend nem számít (tehát pl az 123 és a 213 ugyanazt jelenti), így a sorrendek lehetőségeivel osztani kell, így összesen

`(9*8*7)/(1*2*3)` = 84 lehetőség van.

4,

a,

`((10),(4))` = `(10!)/(4!*6!)` = `(10*9*8*7)/(4*3*2*1)` = `(10*3*7)` = `10*21`

`((10),(5))` = `(10!)/(5!*5!)` = `(10*9*8*7*6)/(5*4*3*2*1)` = `(2*3*7*6)` = `12*21`

Az utóbbi a nagyobb.

b,

`((50),(21))` = `(50!)/(21!*29!)`

`((50),(29))` = `(50!)/(29!*21!)`

Egyenlő.

5,

`C_(90)^5` = `((90),(5))` = `(90!)/(5!*85!)` = `(90*89*88*87*86)/(5*4*3*2*1)` = 43 949 268 lottószelvényt kellene kitölteni a biztos telitalálathoz.