Arányok

3x+7x=90
10x=90
x=9
Első szám: 27
Második: 63

Én kissé máshogy közelíteném meg a kérdést, mint ahogy Endre tette, noha amit ő felírt is teljesen jó. Ő abból indult ki, hogy tudjuk, hogy a keresett két szám hogyan viszonyul egymáshoz és azt is, hogy mennyi az összegük, így az arányszámokat csak egy valamilyen számmal kell megszorozni, hogy 90 legyen az összegük. Ő ezt a számot elnevezte `x`-nek és felírt rá egy egyenletet. Viszont ezt egyenlet nélkül is meg lehet oldani!

Az arányokat úgy kell elképzelni, mintha felosztanánk valamit, mondjuk egy tortát. Ha a te és én általam megevett torta `3:7`-hez aránylik, akkor az olyan, mintha mondjuk a torta 10 szeletes lenne, amiből te három szeletet ettél, én pedig hetet. Mi az a nagyon lényeges dolog, ami az előbb elhangzott? Hogy feltettük, hogy 10 szelet volt. Az arányoknál ha összeadod az arányszámokat, akkor kapod meg az egészet, a 100%-ot, amit szétosztanak az arányszámok. Itt például ha valami `3:7`-hez aránylik az azt jelenti, hogy 10 "az egész", amit 3-ra és 7-re osztunk. Jelen esetben tudjuk, hogy a két szám összege 90, vagyis ezt akarjuk az arányok szerint két számra bontani, ami mit jelent? Hogy ha felosztjuk 10 szeletre a 90-et, akkor az egyik szám ebből 3 szeletet kap, a másik 7-et. Vagyis:
`90:10 = 9` ez egy "szelet". Tehát ez egyik szám: `3*9 = 27`, a másik pedig `7*9=63`.

Máshogy írva (törtekkel):
Az egyik szám 90 három tizede `cancel(90)_9*3/cancel(10)_1 = 27`. A másik szám pedig 90 hét tizede `cancel(90)_9*7/cancel(10)_1 = 63`.

Vagy ragozzuk tovább:

Kétismeretlenes egyenlet (tudom, hogy általánosban nem mindig tanítják, de hátha logikusnak tűnik):

I. x+y=90

II. `x/y=3/7` `rightarrow` 7x = 3y `rightarrow` `y=7/3*x`

I. `x+7/3*x=90`

`10/3*x=90`

x = `(90*3)/10` = 27

II. y = `7/3*27` = 63

Ellenőrzés!

Vagy szöveg alapján:

Legyen az egyik szám x, a másik 90-x. Ekkor a két szám aránya felírható egyenletként:

`x/(90-x)` = `3/7`

7x = 3(90-x)

7x = 270-3x

10x = 270

x = 27

Az egyik szám tehát 27, a másik pedig 90-27=63.

Ha `7/3`-nak írod az arányokat, akkor a másik számot kapod.


Vagy a tortás (írom cukorkára, az életszerűbb):

Egyik tag megevett 3 cukorkát, a másik 7 cukorkát és az együtt megevett cukorkák értéke 90 forint. Ebből következik, hogy 10 cukorka értéke 90 forint, akkor 1 cukorka értéke `90/10` = 9 forint. Az egyik tag tehát megevett `3*9` = 27 forint értékű cukorkát, a másik `7*9` = 63 forint értékű cukorkát.

Nem állunk meg, megoldjuk az egyenletrendszert lineáris algebrai módszerrel:

Válasszuk az inverz módszert, az tűnik a legegyszerűbbnek:

`x_1+x_2=90`

`3x_1-7x_2=0`

`[[1,1,|,90],[3,-7,|,0]]`

`A*X=B`

`A=((1,1),(3,-7))`

`B=((0),(90))`

`det A` = `(1*(-7))-(3*1)` = `-10`

`1/(det A)` = `-1/10`

`A^(-1)=1/(det A)*((-7,-1),(-3,1))` = `-1/10*((-7,-1),(-3,1))` = `((7/10,1/10),(3/10,-1/10))`

`X=A^(-1)*B` = `((7/10,1/10),(3/10,-1/10))*((0),(90))` = `((7/10*90+1/10*0),(3/10*90+0*-1/10))` = `((63),(27))`

Ezért tanuljatok sok matekot, hogy meg tudjatok oldani egyszerű feladatokat bonyolultan is