Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Egyenes egyenlete

128
Sziasztok! Ismétlő feladatokat bújva megakadtam ebben, valaki tunda segíteni?
Az ABC háromszög csúcspontjainak koordinátái:
A (0;0), B (−2;4) , C (4;5),
a) Írja fel az AB oldal egyenesének egyenletét!
b) Számítsa ki az ABC háromszög legnagyobb szögét! A választ tized fokra
kerekítve adja meg!
c) Számítsa ki az ABC háromszög területét!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, egyenlet, háromszög
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Szia. Egy kis koordináta geometria, az egyik kedvencem!

a) Az `AB` oldal egyeneséről 2 dolgot tudunk: hogy rajta van az `A` pont és a `B` pont, ami pont elégséges ahhoz, hogy pontosan egy egyenest kapjunk általuk. Erre a következő képlet létezik:
`(y_2-y_1)(x-x_1) = (x_2-x_1)(y-y_1)`,
ahol az egyik pont `P_1(x_1; y_1)`, a másik pedig `P_2(x_2; y_2)`.

Ez az `A`, `B` pontok esetében a következőt adja:
`(4-0)(x-0) = (-2-0)(y-0)`
`4x = -2y`
`4x+2y = 0`
Ez az `AB` oldal egyenesének egyenlete. Többféleképpen is lehet rendezni, de ez jelenleg nem lényeges.

b) Itt most elgondolkodtam, hogy hogyan lehetne a legkönnyebben megmondani, hogy melyik szög a legnagyobb anélkül, hogy kiszámolnánk mindet, de nem igen jut eszembe semmi sem, úgyhogy szerintem kénytelenek vagyunk. (Megvan mi kellett volna! Kiszámoljuk az oldal hosszakat, mint ahogy a c) pontban tettem, - ami sokkalta egyszerűbb, mint a szögek kiszámolása - és egyszerűen a leghosszabb oldallal szemközti szög a legnagyobb... És láthatjuk is, hogy a `b` oldal a leghosszabb, tehát a `beta` szög lesz a legnagyobb és tényleg ez a helyzet. Csak most esett le!)

Szöget két vektor között tudunk számolni, így először elő kell állítanunk vektorokat. Ezt úgy tudjuk megtenni, hogy két pontot kivonunk egymásból. Pl.:
`vec (AB) = B - A = (x_B-x_A; y_B-y_A)`
Ekkor ez a vektor az `A` pontból a `B`-be mutat. Ennek a fordítottja is lehetséges. Két vektor szöge pedig a két vektor kiindulópontjából értelmezett, tehát a vektoroknak is a jó irányban kell állniuk, különben nem a jó szöget kapjuk.

Legyen mondjuk az `A` pontnál lévő szög `alpha`, a `B`-nél lévő `beta`, a `C`-nél pedig `gamma`. Ekkor az `alpha` szöghöz az `vec (AB)` és az `vec (AC)` vektorokra van szükségünk, a `beta`-hoz `vec (BA)`-ra és `vec (BC)`-re, `gamma`-hoz pedig `vec (CA)`-ra és `vec (CB)`-re. Láthatjuk, hogy előállnak így ellentétes irányú vektorok, mint például az `vec (AB)` és `vec (BA)`. Ezek között csak annyi a különbség, hogy az egyik a másik mínusza, de számít az irányuk a szögek kiszámításakor.

Ha van két vektorunk, mondjuk `a (a_x; a_y)` és `a (b_x; b_y)`, akkor a közrezárt szögük `alpha` a következőképpen adódik:
`cos alpha = (a * b)/(abs a * abs b) = (a_x b_x + a_y b_y)/(sqrt (a_x^2 + a_y^2) * sqrt (b_x^2 + b_y^2))`,
ahol `a * b` a skaláris szorzást jelöli, `abs a` pedig a vektor hosszát.

`vec (AB) (-2; 4), vec (AC) (4; 5) => cos alpha = (-2*4 + 4*5)/(sqrt ((-2)^2 + 4^2) * sqrt (4^2 + 5^2)) = 6/sqrt 205 => alpha = cos^-1 (6/sqrt 205) = 65,2°`
`vec (BA) (2; -4), vec (BC) (6; 1) => cos beta = (2*6 + (-4)*1)/(sqrt (2^2 + (-4)^2) * sqrt (6^2 + 1^2)) = 4/sqrt 185 => beta = cos^-1 (4/sqrt 185) = 72,9°`
Mivel tudjuk, hogy a háromszög belső szögeinek összege `180°`, így
`gamma = 180° - alpha - beta = 41,9° [ = cos^-1 (29/sqrt (37*41))]` (csak a teljesség végett (ebben van a legtöbb prím))

Így tehát a `/_\\` legnagyobb szöge `72,9°`!

c) Mivel már számoltunk oldal hosszakat és szögeket, így mondjuk a `T = (ab sin gamma)/2` megteszi a végtelen sok terület képlet közül.
Tehát ha az `a` oldal az `alpha` szöggel szemközti, a `b` a `beta`-val, a `c` a `gamma`-val, akkor
`a = abs vec(BC) = sqrt (6^2+1^2) = sqrt 37`
`b = abs vec(AC) = sqrt (4^2+5^2) = sqrt 41`
`c = abs vec(AB) = sqrt ((-2)^2+4^2) = sqrt 20`
Ekkor `T = (sqrt (37*41) sin 41,9°)/2 = 13` (kereken)
Módosítva: 1 hónapja
0

Egy kis extra szemléltetés. (Sajnos az eredeti válaszomhoz már nem tudtam csatolni.)
1