Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Sorok
noxter-norxert1704
kérdése
951
Feladatok 
Sorok konvergenciája és összege.
A kérdés: Jól dolgoztam-e?
Ha nem, hol hibáztam?
A 3.)-as feladatnál írtam egy konkrét kérdést is amit az anyaggal kapcsolatban nem teljesen értek!
Előre is köszi!
1.)
Van-e összege az alábbi végtelen sornak? Válaszát indokolja!
n=1-től végtelenig: 2n+1/5n-3
a1 = 3/2
a2 = 5/7
a3 = 7/12
Mivel |q|<1, ezért a sornak van összege, ami a1/1-q
ahol a1 = sorozat első tagja
q pedig a kvóciens.
2.)
Melyik nevezetes végtelen sort ismeri fel a következő kifejezéssel adott sorban?
Van-e összege? Ha igen, határozza meg!
n=2-től végtelenig: 2^(n-1)/5^(n)
Ez egy mértani sor.
Határértéke 0, ezért konvergens.
a1 = 2/25
a2 = 4/125
azaz q= 2/5
--> |q|<1 --> a sornak van összege
Összeg meghatározása: a1/1-q =
= (2/25) * (5/3) = 2/15
3.)
Mikor mondjuk, hogy egy végtelen mértani sor konvergens? Konvergencia esetén hogyan
számolható ki az összeg?
Egy végtelen mértani sor konvergens, ha az általános tagja (an) 0-hoz tart.
Az összege úgy számolható ki, hogy amennyiben |q|<1, úgy a sornak van összege, ami a1/1-q .
ITT LENNE EGY KÉRDÉSEM!
Az általános tagja 0-hoz tart, illetve a kvóciens abszolútértéke kisebb mint 1 feltételek közül, elég ha az egyik teljesül?
Mármint, ha az egyik teljesül, akkor az elég, vagy ki kell számolni mind a kettőt?
Például a 1.) -es feladatban a sor határértéke 2/5 ami nem 0, de mégis van összege, mivel a kvóciens kisebb, mint 1.
Ilyenkor melyik az érvényes? Vagy ezt rosszul tudom?
4.)
Konvergens-e a következő végtelen sor? Ha igen, határozza meg a sor összegét!
n=1-től végtelenig: 5/(-3)^(n)
A sorozat 0-hoz tart, azaz konvergens.
a1= -5/3
a2= 5/9
azaz q=-1/3 -> |q|<1 --> a sornak van összege.
Az összeg: (-5/3) * (3/4) = -(5/4)
5.)
Konvergens-e a következő végtelen sor? Ha igen, határozza meg a sor összegét!
n=1-től végtelenig: n^(4) -1/2*n^(4) + n^(2)
A sor határértéke 1/2, azaz nem konvergens.
a1=0
a2=15/36
a3=80/153
--> |q|>1 --> nincs összege a sornak.
Sorok konvergenciája és összege.A kérdés: Jól dolgoztam-e?
Ha nem, hol hibáztam?
A 3.)-as feladatnál írtam egy konkrét kérdést is amit az anyaggal kapcsolatban nem teljesen értek!
Előre is köszi!
1.)
Van-e összege az alábbi végtelen sornak? Válaszát indokolja!
n=1-től végtelenig: 2n+1/5n-3
a1 = 3/2
a2 = 5/7
a3 = 7/12
Mivel |q|<1, ezért a sornak van összege, ami a1/1-q
ahol a1 = sorozat első tagja
q pedig a kvóciens.
2.)
Melyik nevezetes végtelen sort ismeri fel a következő kifejezéssel adott sorban?
Van-e összege? Ha igen, határozza meg!
n=2-től végtelenig: 2^(n-1)/5^(n)
Ez egy mértani sor.
Határértéke 0, ezért konvergens.
a1 = 2/25
a2 = 4/125
azaz q= 2/5
--> |q|<1 --> a sornak van összege
Összeg meghatározása: a1/1-q =
= (2/25) * (5/3) = 2/15
3.)
Mikor mondjuk, hogy egy végtelen mértani sor konvergens? Konvergencia esetén hogyan
számolható ki az összeg?
Egy végtelen mértani sor konvergens, ha az általános tagja (an) 0-hoz tart.
Az összege úgy számolható ki, hogy amennyiben |q|<1, úgy a sornak van összege, ami a1/1-q .
ITT LENNE EGY KÉRDÉSEM!
Az általános tagja 0-hoz tart, illetve a kvóciens abszolútértéke kisebb mint 1 feltételek közül, elég ha az egyik teljesül?
Mármint, ha az egyik teljesül, akkor az elég, vagy ki kell számolni mind a kettőt?
Például a 1.) -es feladatban a sor határértéke 2/5 ami nem 0, de mégis van összege, mivel a kvóciens kisebb, mint 1.
Ilyenkor melyik az érvényes? Vagy ezt rosszul tudom?
4.)
Konvergens-e a következő végtelen sor? Ha igen, határozza meg a sor összegét!
n=1-től végtelenig: 5/(-3)^(n)
A sorozat 0-hoz tart, azaz konvergens.
a1= -5/3
a2= 5/9
azaz q=-1/3 -> |q|<1 --> a sornak van összege.
Az összeg: (-5/3) * (3/4) = -(5/4)
5.)
Konvergens-e a következő végtelen sor? Ha igen, határozza meg a sor összegét!
n=1-től végtelenig: n^(4) -1/2*n^(4) + n^(2)
A sor határértéke 1/2, azaz nem konvergens.
a1=0
a2=15/36
a3=80/153
--> |q|>1 --> nincs összege a sornak.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
analízis, sor, összeg, konvergencia, feltételek
analízis, sor, összeg, konvergencia, feltételek
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
5
bongolo
{ 
}
válasza
1)
`sum_(n=1)^∞ (2n+1)/(5n-3)`
Fogalmam sincs, milyen q-ra gondolsz.
`(2n+1)/(5n-3) > (2n)/(5n-3) > (2n)/(5n) = 2/5`
Vagyis:
`sum_(n=1)^∞ (2n+1)/(5n-3) > sum_(n=1)^∞ 2/5` ami divergens
Azt hiszem, nem is így, hanem inkább emígy lehet a legszebben bebizonyítani:
Annak, hogy konvergens legyen a sor, szükséges (de nem elégséges) feltétele, hogy `lim_(n→∞) a_n = 0` legyen. Most viszont `a_n → 2/5`, nem pedig 0. Tehát divergens a sor.
`sum_(n=1)^∞ (2n+1)/(5n-3)`
Fogalmam sincs, milyen q-ra gondolsz.
`(2n+1)/(5n-3) > (2n)/(5n-3) > (2n)/(5n) = 2/5`
Vagyis:
`sum_(n=1)^∞ (2n+1)/(5n-3) > sum_(n=1)^∞ 2/5` ami divergens
Azt hiszem, nem is így, hanem inkább emígy lehet a legszebben bebizonyítani:
Annak, hogy konvergens legyen a sor, szükséges (de nem elégséges) feltétele, hogy `lim_(n→∞) a_n = 0` legyen. Most viszont `a_n → 2/5`, nem pedig 0. Tehát divergens a sor.
0
- Még nem érkezett komment!
bongolo
{ }
válasza
2)
- "Ez egy mértani sor"
Ez igaz, de hogy csupán ránézésre ezt kimondod, azt nem szokták elfogadni.
- "Határértéke 0, ezért konvergens."
Ez nem igaz. Csak a fordítottja igaz, hogy ha nem 0-hoz tart, akkor divergens. Ha 0-hoz tart, akkor lehet még bármilyen is.
- "azaz q=2/5"
Az első két elem (`a_1`, `a_2`) felírásából magából sem következik még, hogy ez tényleg mértani sor, és a kvóciense 2/5.
Pl. így lehet rendesebben végigvezetni:
A sor ilyen:
`sum_(n=2)^∞ a_n`
`a_n = 2^(n-1)/5^n`
`a_(n+1)/(a_n) = (2^n/5^(n+1))/(2^(n-1)/5^(n)) = 2^n/5^(n+1)·5^(n)/(2^(n-1))=2/5`
vagyis az `a_n` sorozat mértani sorozat `q=2/5` kvócienssel.
A sorozat első eleme az `a_2`, nevezzük ezt inkább `b_1`-nek, vagyis vezessük be inkább a `b_n` sorozatot, ahol `b_n = a_(n+1)`:
`b_1 = 2/25`
`q = 2/5`
`|q| < 1`, ezért a mértani sor konvergens:
`sum_(n=1)^∞ b_n = b_1/(1-q) = 2/(25)·5/3 = 2/(15)`
- "Ez egy mértani sor"
Ez igaz, de hogy csupán ránézésre ezt kimondod, azt nem szokták elfogadni.
- "Határértéke 0, ezért konvergens."
Ez nem igaz. Csak a fordítottja igaz, hogy ha nem 0-hoz tart, akkor divergens. Ha 0-hoz tart, akkor lehet még bármilyen is.
- "azaz q=2/5"
Az első két elem (`a_1`, `a_2`) felírásából magából sem következik még, hogy ez tényleg mértani sor, és a kvóciense 2/5.
Pl. így lehet rendesebben végigvezetni:
A sor ilyen:
`sum_(n=2)^∞ a_n`
`a_n = 2^(n-1)/5^n`
`a_(n+1)/(a_n) = (2^n/5^(n+1))/(2^(n-1)/5^(n)) = 2^n/5^(n+1)·5^(n)/(2^(n-1))=2/5`
vagyis az `a_n` sorozat mértani sorozat `q=2/5` kvócienssel.
A sorozat első eleme az `a_2`, nevezzük ezt inkább `b_1`-nek, vagyis vezessük be inkább a `b_n` sorozatot, ahol `b_n = a_(n+1)`:
`b_1 = 2/25`
`q = 2/5`
`|q| < 1`, ezért a mértani sor konvergens:
`sum_(n=1)^∞ b_n = b_1/(1-q) = 2/(25)·5/3 = 2/(15)`
0
- Még nem érkezett komment!
bongolo
{ }
válasza
3)
- "Egy végtelen mértani sor konvergens, ha az általános tagja (an) 0-hoz tart."
Ez nem jó.
Nem elég a konvergenciához, hogy egy sorozat általános tagja 0-hoz tart!
Most viszont nem egy tetszőleges sorozatról van szó, hanem mértaniról. Akkor pedig az a konvergencia kritériuma, hogy |q| < 1.
A kiszámolás jó.
- "Az általános tagja 0-hoz tart, illetve a kvóciens abszolútértéke kisebb mint 1 feltételek közül, elég ha az egyik teljesül?"
Nem. Az első szükséges feltétel, a másik elégséges. Az elsőnek minden konvergens sorozatnál teljesülnie kell, a második meg csak mértaninál értelmezett.
- "Mármint, ha az egyik teljesül, akkor az elég, vagy ki kell számolni mind a kettőt?"
Nincs mindig kvóciens, csak a mértaninál.
- "Például a 1.) -es feladatban a sor határértéke 2/5 ami nem 0, de mégis van összege, mivel a kvóciens kisebb, mint 1."
Ott nincs kvóciens, nem tudom, mit vettél annak.
- "Ilyenkor melyik az érvényes? Vagy ezt rosszul tudom?"
Rosszul tudod.
- "Egy végtelen mértani sor konvergens, ha az általános tagja (an) 0-hoz tart."
Ez nem jó.
Nem elég a konvergenciához, hogy egy sorozat általános tagja 0-hoz tart!
Most viszont nem egy tetszőleges sorozatról van szó, hanem mértaniról. Akkor pedig az a konvergencia kritériuma, hogy |q| < 1.
A kiszámolás jó.
- "Az általános tagja 0-hoz tart, illetve a kvóciens abszolútértéke kisebb mint 1 feltételek közül, elég ha az egyik teljesül?"
Nem. Az első szükséges feltétel, a másik elégséges. Az elsőnek minden konvergens sorozatnál teljesülnie kell, a második meg csak mértaninál értelmezett.
- "Mármint, ha az egyik teljesül, akkor az elég, vagy ki kell számolni mind a kettőt?"
Nincs mindig kvóciens, csak a mértaninál.
- "Például a 1.) -es feladatban a sor határértéke 2/5 ami nem 0, de mégis van összege, mivel a kvóciens kisebb, mint 1."
Ott nincs kvóciens, nem tudom, mit vettél annak.
- "Ilyenkor melyik az érvényes? Vagy ezt rosszul tudom?"
Rosszul tudod.
0
- Még nem érkezett komment!
bongolo
{ }
válasza
4)
- "A sorozat 0-hoz tart, azaz konvergens."
Ez nem igaz. Annyi az igaz, hogy "a sorozat 0-hoz tart, ezért nem tudunk róla semmit sem mondani".
- "azaz q=-1/3"
Ezt nem az első 2 elemből kell kitalálni, hanem két egymást követő általános elemből:
`a_(n+1)/a_n = ... = -1/3`, ami állandó, tehát ez egy mértani sorozat.
Ha nem esett volna ki az n, akkor nem lenne mértani sorozat. Kiesett, tehát mértani, és q=-1/3
A többi jó.
- "A sorozat 0-hoz tart, azaz konvergens."
Ez nem igaz. Annyi az igaz, hogy "a sorozat 0-hoz tart, ezért nem tudunk róla semmit sem mondani".
- "azaz q=-1/3"
Ezt nem az első 2 elemből kell kitalálni, hanem két egymást követő általános elemből:
`a_(n+1)/a_n = ... = -1/3`, ami állandó, tehát ez egy mértani sorozat.
Ha nem esett volna ki az n, akkor nem lenne mértani sorozat. Kiesett, tehát mértani, és q=-1/3
A többi jó.
0
- Még nem érkezett komment!
bongolo
{ }
megoldása
5)
- "A sor határértéke 1/2, azaz nem konvergens."
Nem "sor", hanem "sorozat". A sor már az összeg lenne.
Szóval az kellene, hogy "A sorozat határértéke 1/2, nem 0, ezért a sor divergens".
Utána már nem kell semmit se írni. Nem mértani sorozat, vagyis nincs q, nehogy kiszámolj valamit q-nak!
- "A sor határértéke 1/2, azaz nem konvergens."
Nem "sor", hanem "sorozat". A sor már az összeg lenne.
Szóval az kellene, hogy "A sorozat határértéke 1/2, nem 0, ezért a sor divergens".
Utána már nem kell semmit se írni. Nem mértani sorozat, vagyis nincs q, nehogy kiszámolj valamit q-nak!
0
- Még nem érkezett komment!